Номер 569, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

569. Из одной точки сферы проведены три взаимно перпендикулярные хорды (рис. 190). Докажите, что сумма квадратов их длин есть величина постоянная и она равна учетверенному квадрату радиуса сферы.

Для хорд длиной $l_1, l_2, l_3$ и радиуса сферы $R$:

$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = 4R^2$

Рис. 190

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на сфере, из которой проведены три взаимно перпендикулярные хорды $AB$, $AC$ и $AD$. Обозначим их длины как $a, b, c$ соответственно, т.е. $AB=a$, $AC=b$, $AD=c$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Так как хорды взаимно перпендикулярны, направим оси координат вдоль них: ось $Ox$ — вдоль хорды $AB$, ось $Oy$ — вдоль хорды $AC$, и ось $Oz$ — вдоль хорды $AD$.

В этой системе координат концы хорд будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$C(0, b, 0)$
$D(0, 0, c)$

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$. Уравнение сферы в данной системе координат имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Все точки $A, B, C, D$ лежат на сфере, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты каждой точки в уравнение:

1. Для точки $A(0, 0, 0)$:
$(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2$
$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$ (1)

2. Для точки $B(a, 0, 0)$:
$(a - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2$
$a^2 - 2ax_0 + x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$
Используя равенство (1), заменим $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$ на $R^2$:
$a^2 - 2ax_0 + R^2 = R^2$
$a^2 - 2ax_0 = 0$
$a(a - 2x_0) = 0$
Поскольку $a$ — длина хорды, $a \neq 0$. Следовательно, $a - 2x_0 = 0$, откуда $a = 2x_0$.

3. Для точки $C(0, b, 0)$:
$(0 - x_0)^2 + (b - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2$
$x_0^2 + b^2 - 2by_0 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$
Используя равенство (1):
$R^2 + b^2 - 2by_0 = R^2$
$b^2 - 2by_0 = 0$
$b(b - 2y_0) = 0$
Поскольку $b \neq 0$, получаем $b = 2y_0$.

4. Для точки $D(0, 0, c)$:
$(0 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (c - z_0)^2 = R^2$
$x_0^2 + y_0^2 + c^2 - 2cz_0 + z_0^2 = R^2$
Используя равенство (1):
$R^2 + c^2 - 2cz_0 = R^2$
$c^2 - 2cz_0 = 0$
$c(c - 2z_0) = 0$
Поскольку $c \neq 0$, получаем $c = 2z_0$.

Теперь найдем сумму квадратов длин хорд:
$AB^2 + AC^2 + AD^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Подставим найденные выражения для $a, b, c$:
$a^2 + b^2 + c^2 = (2x_0)^2 + (2y_0)^2 + (2z_0)^2 = 4x_0^2 + 4y_0^2 + 4z_0^2 = 4(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2)$

Вспомним равенство (1): $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = R^2$. Подставим его в полученное выражение:
$a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов длин трех взаимно перпендикулярных хорд, проведенных из одной точки сферы, есть величина постоянная, так как она зависит только от радиуса сферы $R$, и равна учетверенному квадрату радиуса сферы.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов длин хорд $AB^2 + AC^2 + AD^2$ равна $4R^2$, что является постоянной величиной для данной сферы.