Номер 565, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

565. Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся:

а) двух данных параллельных прямых;

б) двух данных пересекающихся прямых;

в) трех данных параллельных прямых;

г) сторон данного треугольника;

д) сторон данного ромба;

е) сторон данной трапеции.

а) двух данных параллельных прямых

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Центр сферы, касающейся обеих прямых, должен быть равноудален от них. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух параллельных прямых, есть плоскость, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.
Пусть расстояние между прямыми равно $2d$. Тогда для любой точки $C$ на этой срединной плоскости расстояние до каждой из прямых будет одинаковым. Обозначим это расстояние $R_C$. Это расстояние зависит от положения точки $C$ на плоскости и равно $R_C = \sqrt{d^2 + h^2}$, где $h$ — расстояние от проекции точки $C$ на одну из прямых до ближайшей точки на этой прямой. Для любой точки $C$ на этой плоскости можно построить сферу с центром $C$ и радиусом $R_C$, которая будет касаться обеих прямых. Таким образом, вся эта плоскость является искомым геометрическим местом точек.
Ответ: Плоскость, параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними.

б) двух данных пересекающихся прямых

Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, лежащие в плоскости $\alpha$. Центр $C$ сферы, касающейся обеих прямых, должен быть равноудален от них. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это две взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости проходят через точку пересечения прямых, перпендикулярны плоскости $\alpha$, в которой лежат данные прямые, и пересекают плоскость $\alpha$ по биссектрисам углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$.
Для любой точки, принадлежащей этим двум плоскостям, можно построить сферу, касающуюся обеих прямых.
Ответ: Пара плоскостей, перпендикулярных плоскости, в которой лежат данные прямые, и проходящих через биссектрисы углов между этими прямыми.

в) трех данных параллельных прямых

Пусть даны три параллельные прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Центр сферы должен быть равноудален от всех трех прямых. Рассмотрим проекцию этих прямых на плоскость, им перпендикулярную. Прямые спроецируются в три точки $P_1$, $P_2$ и $P_3$. Центр сферы спроецируется в точку $C'$, которая должна быть равноудалена от $P_1$, $P_2$ и $P_3$.
1. Если прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$ лежат в одной плоскости (копланарны), то точки $P_1$, $P_2$ и $P_3$ будут лежать на одной прямой (коллинеарны). Для трех различных коллинеарных точек не существует точки, равноудаленной от них всех. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.
2. Если прямые не лежат в одной плоскости, то точки $P_1$, $P_2$ и $P_3$ образуют треугольник. Существует единственная точка $C'$, равноудаленная от вершин этого треугольника, — это центр описанной около него окружности. Следовательно, искомое геометрическое место центров сфер — это прямая, проходящая через точку $C'$ и параллельная данным прямым.
Ответ: Если данные прямые лежат в одной плоскости, то искомое ГМТ является пустым множеством. Если данные прямые не лежат в одной плоскости, то искомое ГМТ является прямой, параллельной данным прямым и проходящей через центр окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки пересечения данных прямых с плоскостью, перпендикулярной им.

г) сторон данного треугольника

Стороны треугольника — это три попарно пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. Центр сферы, касающейся трех прямых, содержащих стороны треугольника, должен быть равноудален от этих прямых. В плоскости треугольника существует четыре точки, равноудаленные от трех прямых: центр вписанной окружности (инцентр) и три центра вневписанных окружностей (эксцентры).
В пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех попарно пересекающихся копланарных прямых, представляет собой четыре прямые. Эти прямые перпендикулярны плоскости треугольника и проходят через инцентр и три эксцентра.
Ответ: Четыре прямые, перпендикулярные плоскости треугольника и проходящие через центр вписанной и центры трех вневписанных окружностей этого треугольника.

д) сторон данного ромба

Центр сферы, касающейся четырех прямых, содержащих стороны ромба, должен быть равноудален от всех этих прямых. Проекция центра сферы на плоскость ромба должна быть точкой, равноудаленной от его сторон. В ромб всегда можно вписать окружность, и ее центр — единственная точка в плоскости ромба, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка является точкой пересечения диагоналей ромба.
Следовательно, геометрическое место центров искомых сфер — это прямая, перпендикулярная плоскости ромба и проходящая через точку пересечения его диагоналей.
Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости ромба и проходящая через точку пересечения его диагоналей.

е) сторон данной трапеции

Центр сферы, касающейся четырех прямых, содержащих стороны трапеции, должен быть равноудален от них. Это возможно только в том случае, если существует точка в плоскости трапеции, равноудаленная от ее сторон, то есть если в трапецию можно вписать окружность.
1. Если в трапецию можно вписать окружность (согласно критерию, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон), то существует единственная точка, равноудаленная от всех сторон, — центр вписанной окружности. В этом случае искомое геометрическое место центров сфер — это прямая, перпендикулярная плоскости трапеции и проходящая через центр ее вписанной окружности.
2. Если в трапецию нельзя вписать окружность, то не существует точки, равноудаленной от всех ее четырех сторон. Следовательно, не существует и центра для такой сферы. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.
Ответ: Если в трапецию можно вписать окружность (сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон), то искомое ГМТ — прямая, перпендикулярная плоскости трапеции и проходящая через центр этой окружности. В противном случае искомое ГМТ является пустым множеством.