Номер 563, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

563. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в $120^\circ$ (рис. 188). Определите, в каком отношении эта плоскость разделяет объем конуса.

Рис. 188

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Объем всего конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Плоскость, проходящая через вершину конуса, делит его на две части. Объемы этих частей относятся так же, как и площади их оснований. Основаниями этих частей являются сегменты круга, на которые хорда, высекаемая плоскостью, делит основание конуса. Пусть $V_1$ и $V_2$ — объемы полученных частей конуса, а $S_1$ и $S_2$ — площади соответствующих сегментов в основании. Тогда искомое отношение объемов равно $\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_1}{S_2}$.

Найдем площади этих сегментов. Согласно условию, плоскость отсекает от окружности основания дугу в $120^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду, которую высекает плоскость на основании, также равен $120^\circ$.

Площадь меньшего сегмента, $S_1$, равна разности площади сектора с центральным углом $120^\circ$ и площади равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и этой хордой.

Площадь сектора с углом $120^\circ$ составляет $\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$ от площади всего круга:

$S_{сектор1} = \frac{1}{3}\pi R^2$.

Площадь треугольника с двумя сторонами, равными радиусу $R$, и углом $120^\circ$ между ними равна:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2$.

Следовательно, площадь меньшего сегмента $S_1$ равна:

$S_1 = S_{сектор1} - S_{\triangle} = \frac{1}{3}\pi R^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 = R^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$.

Площадь большего сегмента $S_2$ можно найти, вычтя площадь меньшего сегмента из площади всего круга основания $S_{осн} = \pi R^2$:

$S_2 = S_{осн} - S_1 = \pi R^2 - R^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = R^2(\pi - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = R^2(\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4})$.

Теперь найдем искомое отношение объемов, которое равно отношению площадей сегментов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})}{R^2(\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4})} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}}$.

Для упрощения дроби умножим ее числитель и знаменатель на 12:

$\frac{12(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})}{12(\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4})} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{8\pi + 3\sqrt{3}}$.

Таким образом, плоскость разделяет объем конуса в отношении $(4\pi - 3\sqrt{3}) : (8\pi + 3\sqrt{3})$.

Ответ: $(4\pi - 3\sqrt{3}) : (8\pi + 3\sqrt{3})$.