Номер 568, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

568. Точка $M$ на сфере является общим концом трех взаимно перпендикулярных хорд, длины которых равны 12 см, 15 см и 16 см. Найдите радиус сферы.

Пусть точка $M$ на сфере является общим концом трех взаимно перпендикулярных хорд $MA$, $MB$ и $MC$. Длины этих хорд равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 16$ см.

Так как хорды $MA$, $MB$ и $MC$ взаимно перпендикулярны, их можно рассматривать как ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины $M$. Точки $M, A, B, C$ лежат на сфере. Это означает, что данный прямоугольный параллелепипед вписан в сферу.

Диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен его пространственной диагонали. Пространственная диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a, b, c$ находится по теореме Пифагора в пространстве:$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Диаметр сферы $D$ связан с ее радиусом $R$ соотношением $D = 2R$. Так как диаметр сферы равен пространственной диагонали параллелепипеда ($D = d$), мы можем записать:$(2R)^2 = a^2 + b^2 + c^2$$4R^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда получаем формулу для вычисления радиуса сферы:$R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Подставим известные длины хорд в эту формулу:$R = \frac{1}{2}\sqrt{12^2 + 15^2 + 16^2}$

Выполним вычисления:$R = \frac{1}{2}\sqrt{144 + 225 + 256}$$R = \frac{1}{2}\sqrt{625}$$R = \frac{1}{2} \times 25$$R = 12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.