Номер 572, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

572. Два круга, ограниченные сечениями сферы, взаимно перпендикулярны. Их общая хорда равна 4 см. Найдите радиусы сечений, учитывая, что они относятся как $2:3$, а радиус сферы равен 36 см.

Пусть $R$ — радиус сферы, $r_1$ и $r_2$ — радиусы сечений, $l$ — длина их общей хорды. По условию задачи:$R = 36$ см$l = 4$ смОтношение радиусов сечений $r_1 : r_2 = 2 : 3$.

Обозначим радиусы сечений через коэффициент пропорциональности $k$:$r_1 = 2k$$r_2 = 3k$

Пусть $O$ — центр сферы, $C_1$ и $C_2$ — центры кругов сечений, а $M$ — середина общей хорды. Длина половины хорды равна $l/2 = 4/2 = 2$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости сечения, радиус сечения и радиус сферы связаны теоремой Пифагора. Пусть $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей сечений. Тогда:$d_1^2 + r_1^2 = R^2 \implies d_1^2 = R^2 - r_1^2$$d_2^2 + r_2^2 = R^2 \implies d_2^2 = R^2 - r_2^2$

Аналогично, в каждом сечении радиус круга, половина хорды и расстояние от центра круга до хорды также образуют прямоугольный треугольник:$|C_1M|^2 + (l/2)^2 = r_1^2 \implies |C_1M|^2 = r_1^2 - (l/2)^2 = r_1^2 - 4$$|C_2M|^2 + (l/2)^2 = r_2^2 \implies |C_2M|^2 = r_2^2 - (l/2)^2 = r_2^2 - 4$

Поскольку плоскости сечений взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к ним, проведенные из центра сферы ($OC_1$ и $OC_2$), также взаимно перпендикулярны. Следовательно, треугольник $\triangle OC_1C_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Кроме того, отрезки $C_1M$ и $C_2M$ лежат в перпендикулярных плоскостях и оба перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (на которой лежит хорда). Значит, угол между $C_1M$ и $C_2M$ равен $90^\circ$, и треугольник $\triangle C_1MC_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Оба этих прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу $C_1C_2$. Применив теорему Пифагора к обоим треугольникам, получаем:$|C_1C_2|^2 = |OC_1|^2 + |OC_2|^2 = d_1^2 + d_2^2$$|C_1C_2|^2 = |C_1M|^2 + |C_2M|^2$

Приравнивая правые части, получаем ключевое соотношение:$d_1^2 + d_2^2 = |C_1M|^2 + |C_2M|^2$

Подставим в это уравнение ранее полученные выражения:$(R^2 - r_1^2) + (R^2 - r_2^2) = (r_1^2 - 4) + (r_2^2 - 4)$$2R^2 - (r_1^2 + r_2^2) = r_1^2 + r_2^2 - 8$$2R^2 + 8 = 2(r_1^2 + r_2^2)$$R^2 + 4 = r_1^2 + r_2^2$

Теперь подставим известные значения $R=36$ и выражения для радиусов $r_1=2k$, $r_2=3k$:$36^2 + 4 = (2k)^2 + (3k)^2$$1296 + 4 = 4k^2 + 9k^2$$1300 = 13k^2$$k^2 = \frac{1300}{13} = 100$$k = \sqrt{100} = 10$

Теперь найдем радиусы сечений:$r_1 = 2k = 2 \cdot 10 = 20$ см$r_2 = 3k = 3 \cdot 10 = 30$ см

Ответ: радиусы сечений равны 20 см и 30 см.