Номер 578, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

578. Сфера с радиусом 65 см проходит через вершины трапеции, у которой высота равна 8 см, а основания – 40 см и 48 см. Найдите расстояние от центра сферы да плоскости трапеции.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. По условию, $R = 65$ см. Так как сфера проходит через все вершины трапеции, то эти вершины лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью трапеции. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.

Пусть $r$ — радиус этой окружности, а $O_1$ — ее центр. Центр $O_1$ является проекцией центра сферы $O$ на плоскость трапеции. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости трапеции — это длина отрезка $OO_1$, обозначим ее $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, центром сечения $O_1$ и любой вершиной трапеции (например, $A$). В этом треугольнике гипотенуза — это радиус сферы $R$, а катеты — это радиус сечения $r$ и расстояние $d$. По теореме Пифагора:$R^2 = r^2 + d^2$Следовательно, $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Для нахождения $d$ необходимо сначала вычислить радиус $r$ окружности, описанной около трапеции. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 48$ см, $BC = 40$ см и высотой $h = 8$ см.

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть ось $Oy$ совпадает с осью симметрии трапеции, а ось $Ox$ — с прямой, содержащей большее основание $AD$. Тогда середина $AD$ находится в начале координат. Координаты вершин трапеции будут:

• $A = (\frac{48}{2}, 0) = (24, 0)$
• $D = (-\frac{48}{2}, 0) = (-24, 0)$
• $B = (\frac{40}{2}, 8) = (20, 8)$
• $C = (-\frac{40}{2}, 8) = (-20, 8)$

Центр описанной окружности $O_1$ лежит на оси симметрии $Oy$, поэтому его координаты $(0, y_c)$. Расстояние от центра $O_1$ до любой вершины равно радиусу $r$. Запишем равенство квадратов расстояний от $O_1$ до вершин $A$ и $B$:$|O_1A|^2 = |O_1B|^2$$(24-0)^2 + (0-y_c)^2 = (20-0)^2 + (8-y_c)^2$$24^2 + y_c^2 = 20^2 + (8-y_c)^2$$576 + y_c^2 = 400 + 64 - 16y_c + y_c^2$$576 = 464 - 16y_c$$16y_c = 464 - 576$$16y_c = -112$$y_c = -\frac{112}{16} = -7$

Теперь, зная координату центра $y_c$, найдем квадрат радиуса $r^2$, используя, например, вершину $A$:$r^2 = 24^2 + y_c^2 = 576 + (-7)^2 = 576 + 49 = 625$ см$^2$.

Наконец, вычислим искомое расстояние $d$:$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{65^2 - 625}$$d = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$ см.

Ответ: 60 см.