Номер 585, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

585. В правильную треугольную призму вписана сфера с радиусом $R$. Найдите радиус сферы, касающейся основания призмы, двух ее боковых граней и вписанной сферы.

Пусть $S_1$ — сфера радиуса $R$, вписанная в правильную треугольную призму. Пусть $S_2$ — искомая сфера радиуса $r$.

Поскольку сфера $S_1$ вписана в призму, она касается обоих оснований и всех трех боковых граней. Это означает, что высота призмы $H$ равна диаметру сферы $S_1$, то есть $H=2R$. Также это означает, что расстояние от оси призмы до каждой боковой грани равно радиусу сферы $R$. Это расстояние является радиусом окружности, вписанной в основание призмы (правильный треугольник). Итак, радиус вписанной в основание окружности равен $R$.

Введем систему координат. Пусть ось $Oz$ совпадает с осью призмы, а начало координат $O$ расположено в центре нижнего основания. Нижнее основание призмы лежит в плоскости $z=0$. Центр сферы $S_1$ находится в точке $O_1$ с координатами $(0, 0, R)$.

Сфера $S_2$ радиуса $r$ касается нижнего основания, поэтому ее центр $O_2$ имеет аппликату $z_2=r$. Сфера $S_2$ также касается двух боковых граней. Ее центр $O_2$ должен быть равноудален от этих граней. Следовательно, проекция центра $O_2$ на плоскость основания ($z=0$) лежит на биссектрисе угла, образованного соответствующими сторонами треугольника в основании.

Рассмотрим вид сверху (проекцию на плоскость $z=0$). Основание — это правильный треугольник. Радиус вписанной окружности равен $R$. Радиус описанной окружности $R_{окр}$ для правильного треугольника вдвое больше радиуса вписанной, то есть $R_{окр} = 2R$. Это расстояние от центра треугольника до его вершин.

Пусть проекция центра $O_2$ лежит на биссектрисе, выходящей из вершины $A$. Выберем ось $Ox$ так, чтобы она проходила через эту вершину. Тогда координаты вершины $A$ будут $(2R, 0, 0)$. Проекция центра $O_2$ — точка $P_2(x_2, y_2)$ — лежит на оси $Ox$. Расстояние от точки $P_2$ до сторон треугольника, образующих угол $A$, равно $r$. Угол между стороной и биссектрисой в правильном треугольнике равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в точке $A$, точке $P_2$ и проекции $P_2$ на одну из сторон. Расстояние $AP_2$ является гипотенузой, а катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен $r$. Отсюда $AP_2 = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r$.

Точка $P_2$ лежит на отрезке $OA$ (где $O$ - начало координат). Ее координата $x_2$ равна $OA - AP_2 = 2R - 2r$. Таким образом, координаты центра сферы $S_2$ равны $O_2 = (2R-2r, 0, r)$.

Сферы $S_1$ и $S_2$ касаются друг друга. Это значит, что расстояние между их центрами $O_1(0, 0, R)$ и $O_2(2R-2r, 0, r)$ равно сумме их радиусов $R+r$.

Запишем квадрат расстояния между центрами:$|O_1O_2|^2 = (2R-2r - 0)^2 + (0-0)^2 + (r-R)^2 = (2R-2r)^2 + (r-R)^2$.

Это расстояние должно быть равно квадрату суммы радиусов: $(R+r)^2$.

Получаем уравнение:$(2R-2r)^2 + (r-R)^2 = (R+r)^2$$4(R-r)^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2$$5(R-r)^2 = (R+r)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей (учитывая, что радиусы положительны, и искомый радиус $r$ должен быть меньше $R$), получаем:$\sqrt{5}(R-r) = R+r$$\sqrt{5}R - \sqrt{5}r = R + r$$\sqrt{5}R - R = r + \sqrt{5}r$$R(\sqrt{5}-1) = r(\sqrt{5}+1)$

Выразим $r$:$r = R \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:$r = R \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = R \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{5-1} = R \frac{5-2\sqrt{5}+1}{4} = R \frac{6-2\sqrt{5}}{4}$

$r = R \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $R \frac{3-\sqrt{5}}{2}$