Номер 583, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

583. Плоскость разделила сферу на части, площади которых равны $100 \text{ см}^2$ и $300 \text{ см}^2$. Найдите площадь сечения.

1. Сначала найдем общую площадь поверхности сферы, которая является суммой площадей двух ее частей:

$S_{сферы} = S_1 + S_2 = 100 \text{ см}^2 + 300 \text{ см}^2 = 400 \text{ см}^2$.

2. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус сферы. Используя найденное значение, мы можем выразить $\pi R^2$:

$4\pi R^2 = 400 \text{ см}^2$

$\pi R^2 = \frac{400}{4} = 100 \text{ см}^2$.

3. Плоскость, пересекая сферу, делит ее на два сферических сегмента. Площадь поверхности сферического сегмента (также называемого сферическим поясом или шапочкой) находится по формуле $S_{сегмента} = 2\pi R h$, где $h$ – высота сегмента.

4. Рассмотрим меньший сегмент с площадью $S_1 = 100 \text{ см}^2$. Найдем его высоту $h$. Мы можем найти соотношение высоты сегмента к радиусу сферы, разделив площадь сегмента на площадь всей сферы:

$\frac{S_{сегмента}}{S_{сферы}} = \frac{2\pi R h}{4\pi R^2} = \frac{h}{2R}$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{100}{400} = \frac{h}{2R}$

$\frac{1}{4} = \frac{h}{2R}$

Отсюда находим высоту меньшего сегмента: $h = \frac{2R}{4} = \frac{R}{2}$.

5. Сечение сферы плоскостью является кругом. Обозначим радиус этого круга как $r$. Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до секущей плоскости $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Расстояние $d$ от центра сферы до плоскости равно разности радиуса сферы и высоты сегмента: $d = R - h$.

$d = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

6. Теперь можем найти квадрат радиуса сечения $r^2$:

$r^2 = R^2 - d^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.

7. Площадь сечения $S_{сечения}$ – это площадь круга с радиусом $r$, которая вычисляется по формуле $S_{сечения} = \pi r^2$. Подставим выражение для $r^2$, которое мы нашли:

$S_{сечения} = \pi \left(\frac{3R^2}{4}\right) = \frac{3}{4} (\pi R^2)$.

8. Из шага 2 мы знаем, что $\pi R^2 = 100 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу для площади сечения:

$S_{сечения} = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \text{ см}^2$.

Ответ: $75 \text{ см}^2$.