Номер 590, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

590. В сферу с радиусом $R$ вписана правильная шестиугольная усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр сферы, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади нижнего и верхнего оснований.

Найдем параметры нижнего основания.

По условию, плоскость нижнего основания проходит через центр сферы. Это значит, что нижнее основание — правильный шестиугольник, вписанный в большую окружность сферы радиусом $R$.

Радиус окружности, описанной около нижнего основания, равен радиусу сферы: $r_1 = R$.

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, поэтому сторона нижнего основания $a_1 = R$.

Площадь нижнего основания $S_1$ вычисляется по формуле площади правильного шестиугольника:

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.

Найдем высоту пирамиды и параметры верхнего основания.

Обозначим центр сферы и нижнего основания как $O$. Пусть $r_2$ — радиус окружности, описанной около верхнего основания, а $h$ — высота усеченной пирамиды. Поскольку все вершины пирамиды лежат на сфере, для любой вершины $B$ верхнего основания и ее центра $O_2$ выполняется соотношение, основанное на теореме Пифагора для треугольника $OO_2B$ (где $OB=R$ - радиус сферы, $OO_2=h$ и $O_2B=r_2$):

$R^2 = h^2 + r_2^2$ (1)

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$. Рассмотрим боковое ребро, соединяющее вершину $A$ нижнего основания и вершину $B$ верхнего. Проекция этого ребра на нижнее основание имеет длину, равную разности радиусов описанных окружностей: $r_1 - r_2 = R - r_2$. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, его проекцией и высотой пирамиды, имеем:

$\text{tg}(60^\circ) = \frac{h}{R - r_2}$

Так как $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем второе уравнение:

$h = (R - r_2)\sqrt{3}$ (2)

Решим систему уравнений.

Подставим выражение для $h$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$R^2 = ((R - r_2)\sqrt{3})^2 + r_2^2$

$R^2 = 3(R^2 - 2Rr_2 + r_2^2) + r_2^2$

$4r_2^2 - 6Rr_2 + 2R^2 = 0 \quad | : 2$

$2r_2^2 - 3Rr_2 + R^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $r_2$. Его корни: $r_2 = R$ и $r_2 = R/2$.

Решение $r_2 = R$ привело бы к высоте $h=0$, что не соответствует усеченной пирамиде. Значит, принимаем $r_2 = \frac{R}{2}$.

Тогда высота $h$ равна:

$h = (R - \frac{R}{2})\sqrt{3} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Найдем площадь верхнего основания.

Сторона верхнего основания равна радиусу описанной окружности: $a_2 = r_2 = \frac{R}{2}$.

Площадь верхнего основания $S_2$:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}R^2$.

Вычислим объем усеченной пирамиды.

Сначала найдем среднее геометрическое площадей:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}R^2} = \sqrt{\frac{27}{16}R^4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

Теперь подставим все значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 + \frac{3\sqrt{3}}{8}R^2 + \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \right)$

$V = \frac{R\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3}R^2 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \right)$

$V = \frac{3 \cdot 3 \cdot R^3}{6} \left( \frac{4+1+2}{8} \right) = \frac{9R^3}{6} \cdot \frac{7}{8} = \frac{3R^3}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{21R^3}{16}$.

Ответ: $\frac{21}{16}R^3$.