Номер 595, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

595. Найдите объем конуса, учитывая, что радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной сферы – 3 дм.

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 6$ дм, а радиус вписанной сферы $r = 3$ дм. Для нахождения объема нам необходимо определить высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое проходит через его вершину и центр основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (являющаяся сечением вписанной сферы). Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, половина основания — радиусу основания конуса $R$, а боковая сторона — образующей конуса $L$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса на расстоянии $r$ от основания. Если провести радиус сферы к точке касания с образующей, он будет перпендикулярен ей. В результате можно рассмотреть два подобных прямоугольных треугольника (они подобны по общему острому углу при вершине конуса).

Отношение противолежащего катета к гипотенузе для этого общего угла будет одинаковым для обоих треугольников. Для большего треугольника (образованного высотой, радиусом и образующей конуса) это отношение равно $\frac{R}{L}$. Для меньшего треугольника (образованного частью высоты над центром сферы, радиусом сферы и частью образующей) это отношение равно $\frac{r}{H-r}$, так как гипотенуза этого треугольника — это расстояние от вершины конуса до центра сферы, то есть $H-r$.

Таким образом, мы получаем равенство:$\frac{R}{L} = \frac{r}{H-r}$

Подставим известные значения $R=6$ дм и $r=3$ дм:$\frac{6}{L} = \frac{3}{H-3}$

Выразим из этого уравнения образующую $L$ через высоту $H$:$6(H-3) = 3L$$L = 2(H-3)$

С другой стороны, высота, радиус и образующая конуса связаны теоремой Пифагора:$L^2 = H^2 + R^2$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $L$ и известное значение $R$:$(2(H-3))^2 = H^2 + 6^2$$4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$$4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$

Упростим полученное уравнение:$3H^2 - 24H = 0$$3H(H-8) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $H=0$ и $H=8$. Поскольку высота конуса должна быть положительной, единственно верным решением является $H = 8$ дм.

Теперь, зная высоту конуса, мы можем вычислить его объем:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8$$V = 12 \pi \cdot 8 = 96\pi$

Ответ: $96\pi$ дм³.