Номер 601, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

601. Имеется сфера с радиусом $5\frac{1}{4}$ дм. Найдите объем наименьшего конуса, который может вместить эту сферу, учитывая, что радиус основания конуса равен 7 дм.

Для решения задачи воспользуемся осевым сечением конуса и вписанной в него сферы. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (сечение конуса), в который вписана окружность (сечение сферы).

Обозначим:

• $R$ — радиус основания конуса, $R=7$ дм.
• $r$ — радиус сферы, $r = 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$ дм.
• $H$ — высота конуса.
• $L$ — образующая конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Поскольку радиус основания $R$ задан, объем конуса будет наименьшим при наименьшей возможной высоте $H$. Высота определяется условием, что сфера вписана в конус.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. В этот треугольник вписана окружность радиусом $r$. Центр окружности лежит на высоте $H$ на расстоянии $r$ от основания.
Из подобия двух прямоугольных треугольников (один образован высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$; другой — частью высоты от вершины до центра сферы $H-r$, радиусом сферы $r$ и частью образующей) можно составить пропорцию:
$\frac{H-r}{r} = \frac{L}{R}$
где $L = \sqrt{H^2 + R^2}$ по теореме Пифагора.
Подставим $L$:
$\frac{H-r}{r} = \frac{\sqrt{H^2 + R^2}}{R}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$\frac{(H-r)^2}{r^2} = \frac{H^2 + R^2}{R^2}$
$R^2(H-r)^2 = r^2(H^2 + R^2)$
$R^2(H^2 - 2Hr + r^2) = r^2H^2 + r^2R^2$
$R^2H^2 - 2HR^2r + R^2r^2 = r^2H^2 + r^2R^2$
$R^2H^2 - r^2H^2 - 2HR^2r = 0$
$H^2(R^2 - r^2) - 2HR^2r = 0$
Поскольку $H \neq 0$, разделим на $H$:
$H(R^2 - r^2) - 2R^2r = 0$
$H = \frac{2R^2r}{R^2 - r^2}$

Теперь подставим числовые значения $R=7$ и $r=\frac{21}{4}$:
$H = \frac{2 \cdot 7^2 \cdot \frac{21}{4}}{7^2 - (\frac{21}{4})^2} = \frac{2 \cdot 49 \cdot \frac{21}{4}}{49 - \frac{441}{16}} = \frac{\frac{2058}{4}}{\frac{784 - 441}{16}} = \frac{514.5}{\frac{343}{16}}$
$H = \frac{1029/2}{343/16} = \frac{1029}{2} \cdot \frac{16}{343} = \frac{1029}{343} \cdot \frac{16}{2} = 3 \cdot 8 = 24$ дм.

Итак, высота конуса равна 24 дм. Теперь можем найти объем конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 7^2 \cdot 24 = \frac{1}{3}\pi \cdot 49 \cdot 24 = \pi \cdot 49 \cdot 8 = 392\pi$ дм³.

Ответ: $392\pi$ дм³.