Номер 605, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

605. В пирамиде два ребра основания равны пяти, третье ребро — шести, высота пирамиды проходит через середину большего ребра основания и равна единице. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Радиус сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь её полной поверхности.

1. Нахождение объема пирамиды (V)

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AC = AB = 5$ и $BC = 6$. Высота пирамиды $SH=1$ проходит через середину $H$ большего ребра $BC$.

Найдем площадь основания $S_{осн}$. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $AH$ является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Гипотенуза $AC = 5$, катет $HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:
$AH = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.

Площадь основания пирамиды:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Теперь найдем объем пирамиды, зная её высоту $SH=1$:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 1 = 4$.

2. Нахождение полной площади поверхности пирамиды ($S_{полн}$)

Полная площадь поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
$S_{бок} = S_{SBC} + S_{SAB} + S_{SAC}$.

а) Найдем площадь грани $SBC$. Так как высота пирамиды $SH$ перпендикулярна плоскости основания, то $SH \perp BC$. Следовательно, $SH$ является высотой треугольника $SBC$.
$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$.

б) Треугольники $SAB$ и $SAC$ равны, так как $AB=AC=5$, а боковые ребра $SA$ и $SB=SC$ также попарно равны (это следует из равенства прямоугольных треугольников $SAH$ и, соответственно, $SHB$ и $SHC$). Найдем площадь одного из них, например, $S_{SAB}$.

Для нахождения площади $S_{SAB}$ нам нужна высота этой грани (апофема), проведенная из вершины $S$ к стороне $AB$. Обозначим ее $SK$.
Длину $SK$ найдем из прямоугольного треугольника $SHK$, где $HK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $H$ на сторону $AB$ в плоскости основания.
Длину $HK$ можно найти, выразив площадь треугольника $ABH$ двумя способами. $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
С другой стороны, $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot HK$.
$6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot HK$, откуда $HK = \frac{12}{5}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $SHK$ по теореме Пифагора найдем апофему $SK$:
$SK = \sqrt{SH^2 + HK^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{1 + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{25+144}{25}} = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$.

Площадь грани $SAB$:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{13}{5} = \frac{13}{2} = 6.5$.

Так как $S_{SAC} = S_{SAB}$, то $S_{SAC} = 6.5$.

в) Найдем полную площадь поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{SBC} + S_{SAB} + S_{SAC} = 12 + 3 + 6.5 + 6.5 = 15 + 13 = 28$.

3. Нахождение радиуса вписанной сферы (r)

Теперь, зная объем и полную площадь поверхности, найдем радиус вписанной сферы:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 4}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.