Номер 608, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

608. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны $a, b$ и $c$. Найдите радиус описанной около параллелепипеда сферы.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $x$, $y$ и $z$.

Грани прямоугольного параллелепипеда — это прямоугольники со сторонами ($x$, $y$), ($x$, $z$) и ($y$, $z$). По теореме Пифагора, квадраты длин диагоналей этих граней равны соответственно $x^2 + y^2$, $x^2 + z^2$ и $y^2 + z^2$.

Согласно условию задачи, длины диагоналей граней равны $a$, $b$ и $c$. Мы можем составить систему уравнений, приравняв квадраты длин диагоналей:

$x^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + z^2 = b^2$
$y^2 + z^2 = c^2$

Сложим все три уравнения системы:

$(x^2 + y^2) + (x^2 + z^2) + (y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда $D$ равен сумме квадратов его измерений: $D^2 = x^2 + y^2 + z^2$. Подставив это в наше уравнение, получим:

$2D^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда квадрат диагонали параллелепипеда равен:

$D^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Диаметр описанной около прямоугольного параллелепипеда сферы равен его диагонали $D$. Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{D}{2}$.

Найдем квадрат радиуса:

$R^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4}$

Подставим найденное выражение для $D^2$:

$R^2 = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}\right) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}$

Извлекая квадратный корень, находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$