Номер 609, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

609. Одно измерение прямоугольного параллелепипеда на 11 см и 15 см больше двух других. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что радиус описанной сферы равен 10,5 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Согласно условию, одно измерение на 11 см и 15 см больше двух других. Обозначим это наибольшее измерение как $c$. Тогда два других измерения можно выразить через $c$: $a = c - 15$ см $b = c - 11$ см Для того чтобы измерения были положительными, необходимо, чтобы $c > 15$.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна диаметру описанной около него сферы. Радиус описанной сферы дан по условию: $R = 10,5$ см. Следовательно, диаметр сферы $D = 2R = 2 \cdot 10,5 = 21$ см. Это означает, что диагональ параллелепипеда $d = 21$ см.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив известные соотношения и значения в формулу для квадрата диагонали: $21^2 = (c - 15)^2 + (c - 11)^2 + c^2$ $441 = (c^2 - 30c + 225) + (c^2 - 22c + 121) + c^2$ $441 = 3c^2 - 52c + 346$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3c^2 - 52c + 346 - 441 = 0$ $3c^2 - 52c - 95 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D$: $D = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-95) = 2704 + 1140 = 3844$ Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$.

Найдем корни уравнения для $c$: $c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 + 62}{2 \cdot 3} = \frac{114}{6} = 19$ $c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 - 62}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Поскольку $c$ представляет собой длину ребра, это значение должно быть положительным. Таким образом, мы выбираем корень $c = 19$ см. Это значение удовлетворяет условию $c > 15$. Теперь мы можем найти два других измерения: $a = c - 15 = 19 - 15 = 4$ см $b = c - 11 = 19 - 11 = 8$ см

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда составляют 4 см, 8 см и 19 см.

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$ $V = 4 \cdot 8 \cdot 19 = 32 \cdot 19 = 608$ см³.

Ответ: 608 см³.