Номер 603, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

603. Высота правильной пирамиды равна $h$, отношение апофемы пирамиды к апофеме ее основания равно $n$. Найдите радиус вписанной в пирамиду сферы.

Пусть дана правильная пирамида. Обозначим ее высоту как $h$, апофему пирамиды (высоту боковой грани) как $l$, и апофему основания (радиус вписанной в основание окружности) как $a$. По условию задачи, высота равна $h$, и отношение апофемы пирамиды к апофеме ее основания равно $n$, то есть $\frac{l}{a} = n$, откуда следует, что $l = na$. Нам необходимо найти радиус $r$ вписанной в пирамиду сферы.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через ее высоту $SO$ и апофему $SK$ одной из боковых граней ($S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, $K$ – середина стороны основания). Это сечение является прямоугольным треугольником $SOK$, в котором катет $SO = h$ – это высота пирамиды, катет $OK = a$ – апофема основания, а гипотенуза $SK = l$ – апофема пирамиды.

Центр $I$ вписанной в пирамиду сферы находится на ее высоте $SO$. Радиус $r$ вписанной сферы представляет собой расстояние от центра $I$ до любой из граней пирамиды. Таким образом, расстояние от точки $I$ до плоскости основания равно $IO = r$. Расстояние от точки $I$ до боковой грани, содержащей апофему $SK$, равно длине перпендикуляра $IP$, опущенного из точки $I$ на гипотенузу $SK$ в треугольнике $SOK$. Следовательно, $IP = r$.

В прямоугольном треугольнике $SOK$ точка $I$ лежит на катете $SO$. Длина отрезка $SI$ вычисляется как $SO - IO = h - r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SIP$ (с прямым углом при вершине $P$). Треугольники $\triangle SIP$ и $\triangle SOK$ подобны по общему острому углу $\angle{S}$. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{SI}{SK} = \frac{IP}{OK} $$

Подставим в это соотношение известные нам величины: $SI = h - r$, $SK = l$, $IP = r$ и $OK = a$. $$ \frac{h - r}{l} = \frac{r}{a} $$

Теперь используем данное в условии отношение $l = na$: $$ \frac{h - r}{na} = \frac{r}{a} $$ Поскольку апофема основания $a$ не может быть равна нулю ($a \neq 0$), мы можем сократить $a$ в знаменателях обеих частей уравнения: $$ \frac{h - r}{n} = r $$

Осталось решить полученное уравнение относительно $r$: $$ h - r = nr $$ $$ h = nr + r $$ $$ h = r(n + 1) $$ $$ r = \frac{h}{n + 1} $$

Ответ: $r = \frac{h}{n + 1}$