Номер 598, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

598. Поверхность усеченного конуса, в который вписана сфера, равна $18\pi \text{ см}^2$, радиус верхнего основания — $2 \text{ см}$. Найдите площадь сферы.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса, $l$ — его образующая, а $R$ — радиус вписанной сферы.

По условию задачи, площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{кон}$ равна $18\pi \text{ см}^2$, а радиус верхнего основания $r_1 = 2 \text{ см}$.

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:$S_{кон} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2} = \pi(r_1+r_2)l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$

Ключевым свойством усеченного конуса, в который можно вписать сферу, является соотношение между его элементами. Если рассмотреть осевое сечение конуса, мы получим равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (большой круг сферы). В любой описанной около окружности трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон. Для нашего сечения это означает:$2r_1 + 2r_2 = l + l = 2l$Отсюда следует важное соотношение:$l = r_1 + r_2$

Подставим это выражение для $l$ в формулу площади поверхности конуса:$S_{кон} = \pi(r_1+r_2)(r_1+r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(r_1+r_2)^2 + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$$S_{кон} = \pi(r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(2r_1^2 + 2r_2^2 + 2r_1r_2) = 2\pi(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$

Используем данные из условия задачи: $S_{кон} = 18\pi$ и $r_1 = 2$.$18\pi = 2\pi(2^2 + r_2^2 + 2 \cdot r_2)$Разделим обе части на $2\pi$:$9 = 4 + r_2^2 + 2r_2$$r_2^2 + 2r_2 - 5 = 0$

Для нахождения площади сферы $S_{сф} = 4\pi R^2$ нам нужно найти радиус сферы $R$. Существует еще одно свойство для усеченного конуса с вписанной сферой: квадрат радиуса вписанной сферы равен произведению радиусов оснований конуса:$R^2 = r_1r_2$Это свойство можно вывести из того же осевого сечения. Высота конуса $h$ равна диаметру сферы, $h = 2R$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов $(r_2-r_1)$, по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (r_2-r_1)^2$. Подставив $l=r_1+r_2$ и $h=2R$, получим $(r_1+r_2)^2 = (2R)^2 + (r_2-r_1)^2$, что после упрощения дает $4r_1r_2 = 4R^2$.

Таким образом, нам нужно найти $r_2$. Решим полученное квадратное уравнение $r_2^2 + 2r_2 - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$r_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$

Поскольку радиус должен быть положительной величиной, выбираем корень $r_2 = \sqrt{6} - 1 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить площадь сферы:$S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi r_1r_2$$S_{сф} = 4\pi \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}-1) = 8\pi(\sqrt{6}-1) \text{ см}^2$

Ответ: $8\pi(\sqrt{6}-1) \text{ см}^2$.