Номер 597, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

597. Усеченный конус, площади оснований которого относятся как 4 : 9, описан около сферы с радиусом 3 дм (рис. 202). Найдите объем усеченного конуса.

Рис. 202

Для нахождения объема усеченного конуса воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$,

где $H$ – высота усеченного конуса, $R$ и $r$ – радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

1. Найдем соотношение между радиусами оснований.

Пусть $S_1$ и $S_2$ – площади меньшего и большего оснований. По условию, их отношение равно $S_1 : S_2 = 4 : 9$. Площади оснований вычисляются по формулам $S_1 = \pi r^2$ и $S_2 = \pi R^2$. Тогда:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{4}{9}$

Отсюда получаем соотношение для радиусов:

$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$, то есть $r = \frac{2}{3}R$.

2. Найдем высоту усеченного конуса.

Так как усеченный конус описан около сферы, то сфера касается обоих оснований конуса. Расстояние между плоскостями оснований, то есть высота конуса $H$, равно диаметру вписанной сферы. Радиус сферы по условию равен $r_{сф} = 3$ дм. Следовательно, высота конуса равна:

$H = 2 \cdot r_{сф} = 2 \cdot 3 = 6$ дм.

3. Найдем радиусы оснований $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность (сечение сферы) радиусом $r_{сф} = 3$ дм. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$, а боковая сторона равна образующей конуса $l$.

Для четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$2R + 2r = l + l = 2l$, откуда $l = R + r$.

Проведем высоту трапеции из вершины меньшего основания. Получим прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $(R-r)$ и гипотенузой $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (R-r)^2$.

Подставим в это уравнение выражение для $l$:

$(R+r)^2 = H^2 + (R-r)^2$

$R^2 + 2Rr + r^2 = H^2 + R^2 - 2Rr + r^2$

$4Rr = H^2$

Мы знаем, что $H = 6$ дм, поэтому $H^2 = 36$.

$4Rr = 36 \implies Rr = 9$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} r = \frac{2}{3}R \\ Rr = 9 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$R \cdot (\frac{2}{3}R) = 9$

$\frac{2}{3}R^2 = 9$

$R^2 = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$

Теперь найдем $r^2$:

$r^2 = (\frac{2}{3}R)^2 = \frac{4}{9}R^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{2} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6$.

4. Вычислим объем усеченного конуса.

Подставим найденные значения $H=6$, $R^2 = 27/2$, $r^2 = 6$ и $Rr=9$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \left(\frac{27}{2} + 9 + 6\right)$

$V = 2\pi \left(\frac{27}{2} + 15\right) = 2\pi \left(\frac{27}{2} + \frac{30}{2}\right) = 2\pi \left(\frac{57}{2}\right) = 57\pi$ дм$^3$.

Ответ: $57\pi \text{ дм}^3$.