Номер 592, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

592. Вокруг сферы с радиусом $r$ описан конус с прямым углом при вершине. Найдите полную поверхность этого конуса.

Пусть $r$ — радиус вписанной сферы, $R$ — радиус основания конуса, $H$ — высота конуса, а $l$ — его образующая.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $r$ (большой круг сферы). По условию, угол при вершине конуса прямой, следовательно, угол при вершине осевого сечения равен $90^\circ$.

Так как осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником, углы при его основании равны $\frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$. Высота конуса $H$ является также и биссектрисой угла при вершине, поэтому угол между высотой и образующей равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Так как один из острых углов этого треугольника равен $45^\circ$, то он является равнобедренным, откуда следует, что $H = R$. Образующая $l$ является гипотенузой, и по теореме Пифагора $l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Теперь свяжем размеры конуса с радиусом вписанной сферы $r$. Центр сферы лежит на высоте конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются вершина конуса, центр сферы и точка касания сферы с образующей конуса. Катет, противолежащий углу в $45^\circ$, равен радиусу сферы $r$. Гипотенуза этого треугольника равна расстоянию от вершины конуса до центра сферы, то есть $H - r$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(45^\circ) = \frac{r}{H-r}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $H=R$, получаем:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{R-r}$

$\sqrt{2}(R-r) = 2r$

$\sqrt{2}R - r\sqrt{2} = 2r$

$\sqrt{2}R = 2r + r\sqrt{2} = r(2+\sqrt{2})$

$R = \frac{r(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = r(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = r(\sqrt{2}+1)$

Теперь найдем образующую $l$:

$l = R\sqrt{2} = r(\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = r(2+\sqrt{2})$

Полная поверхность конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R(R+l)$

Подставим найденные выражения для $R$ и $l$:

$S_{полн} = \pi \cdot r(\sqrt{2}+1) \cdot [r(\sqrt{2}+1) + r(2+\sqrt{2})]$

$S_{полн} = \pi r^2 (\sqrt{2}+1) (\sqrt{2}+1+2+\sqrt{2})$

$S_{полн} = \pi r^2 (\sqrt{2}+1) (3+2\sqrt{2})$

Раскроем скобки:

$(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 + 3 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$

Таким образом, полная поверхность конуса равна:

$S_{полн} = \pi r^2 (7 + 5\sqrt{2})$

Ответ: $S_{полн} = \pi r^2 (7 + 5\sqrt{2})$.