Номер 594, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

594. В конус с образующей $a$ и радиусом основания $R$ вписана сфера (рис. 201). Найдите радиус окружности, по которой сфера касается поверхности конуса.

Рис. 201

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $a$, а основание равно диаметру основания конуса $2R$. Сечением сферы является окружность, вписанная в этот равнобедренный треугольник.

Обозначим вершины осевого сечения как S (вершина конуса) и A, B (точки на окружности основания, AB — диаметр). SH — высота конуса, где H — центр основания. Таким образом, $SA = SB = a$, $AH = R$, $AB = 2R$.

Вписанная сфера касается боковой поверхности конуса по окружности. В осевом сечении эта окружность представлена двумя точками касания. Обозначим одну из них как K, лежащую на образующей SA. Искомый радиус — это радиус окружности, которую описывает точка K при вращении вокруг оси конуса SH. Этот радиус равен расстоянию от точки K до оси SH.

Вписанная окружность в треугольник $\triangle SAB$ касается его основания AB в точке H. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длина отрезков от этой точки до точек касания равны. Для точки A отрезки касательных к вписанной окружности — это AH и AK.

Следовательно, $AK = AH$. Поскольку AH — это радиус основания конуса, $AH = R$, то и $AK = R$.

Зная длину образующей $SA = a$ и длину отрезка $AK = R$, мы можем найти длину отрезка SK:

$SK = SA - AK = a - R$

Теперь найдем искомый радиус. Обозначим его $x$. Он равен длине перпендикуляра, опущенного из точки K на высоту SH. Назовем основание этого перпендикуляра P. Таким образом, $x = KP$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SAH$ и $\triangle SKP$. Они подобны по общему острому углу при вершине S ($\angle ASH$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{KP}{AH} = \frac{SK}{SA}$

Подставим известные значения: $KP = x$, $AH = R$, $SK = a - R$, $SA = a$.

$\frac{x}{R} = \frac{a - R}{a}$

Выразим из этого уравнения искомый радиус $x$:

$x = \frac{R(a-R)}{a}$

Ответ: $\frac{R(a-R)}{a}$