Номер 600, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

600. Площадь сферы, вписанной в правильную шестиугольную усеченную пирамиду, равна $12\pi \text{ м}^2$, сторона меньшего основания усеченной пирамиды равна $1 \text{ м}$. Найдите объем соответствующей полной пирамиды.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем радиус вписанной сферы, затем, используя свойства вписанной сферы, определим размеры усеченной пирамиды, после чего найдем высоту и сторону основания соответствующей полной пирамиды и, наконец, вычислим ее объем.

1. Нахождение радиуса вписанной сферы
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус сферы. По условию, $S_{сферы} = 12\pi \text{ м}^2$. Приравняем и найдем $R$: $4\pi R^2 = 12\pi$ $R^2 = \frac{12\pi}{4\pi} = 3$ $R = \sqrt{3} \text{ м}$.

2. Определение размеров усеченной и полной пирамид
Для того чтобы в усеченную пирамиду можно было вписать сферу, необходимо, чтобы ее высота была равна диаметру сферы. Таким образом, высота усеченной пирамиды $h_{усеч} = 2R = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$. Основаниями этой трапеции являются апофемы шестиугольников в основаниях пирамиды ($m_1$ для большего и $m_2$ для меньшего), а высота трапеции равна высоте усеченной пирамиды $h_{усеч}$.

Для такой трапеции выполняется свойство: $h_{усеч}^2 = 4R^2 = m_1 \cdot m_2$. Это ключевое соотношение. Найдем апофему меньшего основания. Сторона правильного шестиугольника в меньшем основании $a_2 = 1 \text{ м}$. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $m_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ м}$.

Теперь найдем апофему большего основания $m_1$: $m_1 \cdot m_2 = 4R^2$ $m_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4(\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ $m_1 = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ м}$.

Зная апофему большего основания $m_1$, найдем его сторону $a_1$: $m_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$ $8\sqrt{3} = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$ $a_1 = 8 \cdot 2 = 16 \text{ м}$.

3. Нахождение высоты полной пирамиды
Полная пирамида и малая пирамида (отсеченная от полной) подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон их оснований: $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{16}{1} = 16$.

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H$ – высота полной пирамиды, а $h_{малой}$ – высота отсеченной малой пирамиды. Тогда $H = h_{усеч} + h_{малой}$, и $\frac{H}{h_{малой}} = k = 16$. Отсюда $H = 16h_{малой}$. Подставим это в первое уравнение: $16h_{малой} = h_{усеч} + h_{малой}$ $15h_{малой} = h_{усеч} = 2\sqrt{3}$ $h_{малой} = \frac{2\sqrt{3}}{15} \text{ м}$.

Тогда высота полной пирамиды: $H = 16 \cdot h_{малой} = 16 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{15} = \frac{32\sqrt{3}}{15} \text{ м}$.

4. Вычисление объема полной пирамиды
Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot H$. Найдем площадь большего основания (правильного шестиугольника со стороной $a_1 = 16 \text{ м}$). Площадь правильного шестиугольника: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 256 = 3\sqrt{3} \cdot 128 = 384\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Теперь вычислим объем полной пирамиды: $V_{полной} = \frac{1}{3} S_1 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (384\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{32\sqrt{3}}{15}\right)$ $V_{полной} = \frac{384 \cdot 32 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3 \cdot 15} = \frac{384 \cdot 32 \cdot 3}{45} = \frac{384 \cdot 32}{15}$ $V_{полной} = \frac{12288}{15} = \frac{4096}{5} = 819.2 \text{ м}^3$.

Ответ: $819.2 \text{ м}^3$.