Номер 606, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

606. Сфера с радиусом $r$ касается граней двугранного угла в $60^\circ$ (рис. 203). Найдите радиусы наибольшей и наименьшей сфер, касающихся граней угла и данной сферы.

Рис. 203

Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру двугранного угла. В этом сечении двугранный угол представляет собой плоский угол величиной $\alpha = 60^\circ$. Сферы в этом сечении будут выглядеть как окружности, касающиеся сторон этого угла. Центры всех таких сфер (окружностей) лежат на биссектрисе этого угла.

Пусть $O$ — центр данной сферы с радиусом $r$. Расстояние от центра $O$ до одной из граней угла равно $r$. Расстояние от вершины угла $V$ (в сечении) до центра сферы $O$ (обозначим его $d$) можно найти из прямоугольного треугольника. Угол при вершине в этом треугольнике равен половине двугранного угла, то есть $\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Следовательно, расстояние от вершины угла до центра данной сферы $d$ связано с радиусом $r$ соотношением $\sin(30^\circ) = \frac{r}{d}$. Отсюда $d = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r$.

Радиус наибольшей сферы

Пусть $R$ — радиус наибольшей искомой сферы. Её центр $O_R$ также лежит на биссектрисе угла. Расстояние от вершины угла $V$ до центра $O_R$ составляет $d_R = \frac{R}{\sin(30^\circ)} = 2R$.

Наибольшая сфера расположена дальше от вершины угла, чем данная сфера. Так как сферы касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $OO_R$ равно сумме их радиусов: $R+r$.

Центры $V$, $O$ и $O_R$ лежат на одной прямой (биссектрисе), поэтому расстояние от вершины до центра большей сферы складывается из расстояния до центра данной сферы и расстояния между центрами:

$d_R = d + OO_R$

Подставим полученные выражения:

$2R = 2r + (R+r)$

Решим это уравнение относительно $R$:

$2R = 3r + R$

$R = 3r$

Ответ: $3r$.

Радиус наименьшей сферы

Пусть $r_s$ — радиус наименьшей искомой сферы. Её центр $O_s$ также лежит на биссектрисе. Расстояние от вершины угла $V$ до центра $O_s$ составляет $d_s = \frac{r_s}{\sin(30^\circ)} = 2r_s$.

Наименьшая сфера расположена между вершиной угла и данной сферой. Расстояние между их центрами $OO_s$ также равно сумме их радиусов: $r+r_s$.

Центры $V$, $O_s$ и $O$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние от вершины до центра данной сферы складывается из расстояния до центра меньшей сферы и расстояния между центрами:

$d = d_s + OO_s$

Подставим известные выражения:

$2r = 2r_s + (r+r_s)$

Решим это уравнение относительно $r_s$:

$2r = 3r_s + r$

$r = 3r_s$

$r_s = \frac{r}{3}$

Ответ: $\frac{r}{3}$.