Номер 612, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

612. В сферу с радиусом 14 см вписана правильная треугольная призма, высота которой на 17 см больше ребра основания. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $a$ — ребро основания правильной треугольной призмы, $h$ — её высота, а $R$ — радиус описанной сферы. По условию задачи, радиус сферы $R = 14$ см. Высота призмы на 17 см больше ребра основания, что можно записать как $h = a + 17$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Так как в основании лежит правильный треугольник со стороной $a$, его периметр равен $P_{осн} = 3a$. Следовательно, формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 3ah$.

Для любой призмы, вписанной в сферу, её радиус $R$, высота $h$ и радиус $r_c$ окружности, описанной около основания призмы, связаны соотношением $R^2 = (\frac{h}{2})^2 + r_c^2$. Это соотношение получается из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы (гипотенуза), половиной высоты призмы и радиусом описанной окружности основания (катеты).

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $r_c = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим известные данные и выражения в основное соотношение:$14^2 = (\frac{a+17}{2})^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2$$196 = \frac{(a+17)^2}{4} + \frac{a^2}{3}$

Чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю 12:$196 \cdot 12 = 3 \cdot (a+17)^2 + 4 \cdot a^2$$2352 = 3(a^2 + 34a + 289) + 4a^2$$2352 = 3a^2 + 102a + 867 + 4a^2$Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:$7a^2 + 102a + 867 - 2352 = 0$$7a^2 + 102a - 1485 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 102^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1485) = 10404 + 41580 = 51984$Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{51984} = 228$. Теперь найдем корни уравнения:$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-102 \pm 228}{2 \cdot 7} = \frac{-102 \pm 228}{14}$Так как длина ребра $a$ является положительной величиной, мы выбираем корень со знаком «плюс»:$a = \frac{-102 + 228}{14} = \frac{126}{14} = 9$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы:$h = a + 17 = 9 + 17 = 26$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 3ah = 3 \cdot 9 \cdot 26 = 27 \cdot 26 = 702$ см$^2$.

Ответ: $702$ см$^2$.