Номер 617, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

617. Все боковые ребра пирамиды равны $a$, ее высота — $H$ (рис. 205). Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

Рис. 205

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр описанной около основания окружности. Так как все боковые ребра пирамиды равны, то высота пирамиды $SO$ проецируется в центр $O$. Обозначим высоту $SO = H$ и боковое ребро $SA = a$, где $A$ — любая вершина основания.

Центр $K$ описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин, поэтому он лежит на высоте $SO$ (или ее продолжении). Радиус этой сферы $R$ равен расстоянию от центра $K$ до любой вершины пирамиды. Таким образом, $KS = KA = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катеты — это высота $H$ и радиус $r = OA$ описанной около основания окружности. Гипотенуза — боковое ребро $a$. По теореме Пифагора:

$a^2 = H^2 + r^2$

Отсюда найдем квадрат радиуса окружности, описанной около основания:

$r^2 = a^2 - H^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KOA$. Его катеты — $OA=r$ и $KO$. Гипотенуза — $KA=R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = KO^2 + r^2$

Точки $S$, $K$, $O$ лежат на одной прямой. Расстояние $SO = H$, а $KS = R$. Следовательно, расстояние $KO$ можно выразить как $KO = |H - R|$. Подставим это в предыдущее уравнение:

$R^2 = (|H - R|)^2 + r^2$

$R^2 = (H - R)^2 + r^2$

Теперь подставим выражение для $r^2$:

$R^2 = (H - R)^2 + (a^2 - H^2)$

Раскроем скобки:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + a^2 - H^2$

Сократим подобные члены:

$0 = -2HR + a^2$

Перенесем $2HR$ в левую часть:

$2HR = a^2$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = \frac{a^2}{2H}$

Ответ: $R = \frac{a^2}{2H}$