Номер 624, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

624. Боковое ребро правильной треугольной усеченной пирамиды равно 50, а ребра оснований – $33\sqrt{3}$ и $63\sqrt{3}$. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида. Все ее вершины лежат на поверхности описанной сферы. Центр описанной сферы находится на оси пирамиды (прямой, проходящей через центры оснований). Обозначим ребра оснований как $a_1 = 33\sqrt{3}$ и $a_2 = 63\sqrt{3}$, а боковое ребро как $L = 50$.

Сначала найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды. Основаниями являются правильные треугольники. Радиус $r$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус описанной окружности меньшего (верхнего) основания:

$r_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{33\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 33$.

Радиус описанной окружности большего (нижнего) основания:

$r_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{63\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 63$.

Теперь найдем высоту усеченной пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, проекцией бокового ребра на плоскость большего основания и самим боковым ребром $L$. Катетами этого треугольника являются высота $H$ и разность радиусов описанных окружностей оснований $r_2 - r_1$, а гипотенузой — боковое ребро $L$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

$50^2 = H^2 + (63 - 33)^2$

$2500 = H^2 + 30^2$

$2500 = H^2 + 900$

$H^2 = 2500 - 900 = 1600$

$H = \sqrt{1600} = 40$.

Далее найдем радиус $R$ описанной сферы. Пусть центр сферы $O$ находится на оси пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды одинаково и равно $R$. Воспользуемся методом координат. Разместим центр большего основания в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось пирамиды направим вдоль оси $Oz$. Тогда центр меньшего основания будет иметь координаты $(0, 0, H)$, то есть $(0, 0, 40)$. Центр сферы будет иметь координаты $(0, 0, z_0)$.

Возьмем произвольную вершину на большем основании, например, с координатами $(r_2, 0, 0)$, то есть $(63, 0, 0)$. Возьмем соответствующую ей вершину на меньшем основании, ее координаты будут $(r_1, 0, H)$, то есть $(33, 0, 40)$.

Квадрат расстояния от центра сферы до каждой из этих вершин равен $R^2$. Составим систему уравнений:

$R^2 = (63 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - z_0)^2 = 63^2 + z_0^2$

$R^2 = (33 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (40 - z_0)^2 = 33^2 + (40 - z_0)^2$

Приравняем правые части, чтобы найти $z_0$:

$63^2 + z_0^2 = 33^2 + (40 - z_0)^2$

$3969 + z_0^2 = 1089 + 1600 - 80z_0 + z_0^2$

$3969 = 2689 - 80z_0$

$80z_0 = 2689 - 3969$

$80z_0 = -1280$

$z_0 = -16$.

Отрицательное значение $z_0$ означает, что центр сферы находится на 16 единиц ниже плоскости большего основания.

Теперь, зная $z_0$, вычислим радиус сферы $R$:

$R^2 = 63^2 + z_0^2 = 63^2 + (-16)^2$

$R^2 = 3969 + 256$

$R^2 = 4225$

$R = \sqrt{4225} = 65$.

Ответ: 65.