Номер 631, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

631. Радиусы оснований усеченного конуса равны 7 см и 25 см, а образующая — 30 см (рис. 208). Найдите радиус описанной около него сферы.

Рис. 208

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $r_1 = 7$ см и $r_2 = 25$ см, а образующую — $l = 30$ см. Требуется найти радиус $R$ описанной около него сферы.

Осевое сечение усеченного конуса и описанной около него сферы представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в большую окружность сферы. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1 = 14$ см и $2r_2 = 50$ см), а боковые стороны — образующей ($l = 30$ см). Радиус этой окружности и будет искомым радиусом описанной сферы $R$.

Сначала найдем высоту $h$ усеченного конуса (и, соответственно, трапеции). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $r_2 - r_1$. По теореме Пифагора:

$h^2 + (r_2 - r_1)^2 = l^2$

$h^2 + (25 - 7)^2 = 30^2$

$h^2 + 18^2 = 30^2$

$h^2 + 324 = 900$

$h^2 = 900 - 324 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Центр описанной сферы $O$ по соображениям симметрии лежит на оси конуса. Пусть расстояние от центра сферы $O$ до плоскости большего основания равно $x$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости меньшего основания равно $|h - x| = |24 - x|$.

Так как все точки на окружностях оснований конуса равноудалены от центра сферы (на расстояние $R$), мы можем составить систему уравнений, используя теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников. Первый треугольник имеет катеты $r_2$ и $x$, а гипотенузу $R$. Второй — катеты $r_1$ и $|24-x|$, а гипотенузу $R$.

$R^2 = r_2^2 + x^2 = 25^2 + x^2$

$R^2 = r_1^2 + (24 - x)^2 = 7^2 + (24 - x)^2$

Приравняем правые части этих уравнений, чтобы найти $x$:

$25^2 + x^2 = 7^2 + (24 - x)^2$

$625 + x^2 = 49 + 576 - 48x + x^2$

$625 + x^2 = 625 - 48x + x^2$

$0 = -48x$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром большего основания усеченного конуса.

Теперь найдем радиус сферы $R$, подставив $x=0$ в первое уравнение:

$R^2 = 25^2 + 0^2 = 625$

$R = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.