Номер 638, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

638. В правильный тетраэдр вписана сфера. Плоскость, параллельная основанию, разделяет объем тетраэдра в отношении 64 : 61. Найдите, в каком отношении эта плоскость разделяет сферу.

Пусть $V$ — объём исходного правильного тетраэдра. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от него меньший тетраэдр, подобный исходному. Оставшаяся часть является усеченной пирамидой (фрустумом).

Пусть объём меньшего тетраэдра, находящегося вверху, равен $V_{верх}$, а объём нижней части (фрустума) равен $V_{низ}$. Согласно условию, объём тетраэдра разделяется в отношении 64 : 61. Предположим, что это отношение объёма верхней части к нижней: $V_{верх} : V_{низ} = 64 : 61$. Такое предположение естественно, так как $64 = 4^3$, а полный объём $V = V_{верх} + V_{низ} = 64 + 61 = 125 = 5^3$.

Отношение объёма отсечённого тетраэдра к объёму всего тетраэдра равно:$$ \frac{V_{верх}}{V} = \frac{64}{64 + 61} = \frac{64}{125} $$Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия равен отношению высот малого и большого тетраэдров. Пусть $H$ — высота исходного тетраэдра, а $h_{верх}$ — высота отсечённого тетраэдра (расстояние от вершины до секущей плоскости). Тогда:$$ \left(\frac{h_{верх}}{H}\right)^3 = \frac{V_{верх}}{V} = \frac{64}{125} $$$$ \frac{h_{верх}}{H} = \sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{4}{5} $$Таким образом, секущая плоскость находится на расстоянии $h_{верх} = \frac{4}{5}H$ от вершины тетраэдра.

Теперь рассмотрим вписанную в тетраэдр сферу. В правильном тетраэдре центр вписанной сферы лежит на его высоте и делит её в отношении 3:1, считая от вершины. Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Тогда расстояние от центра сферы до основания равно $r$, а расстояние от центра до вершины — $3r$. Полная высота тетраэдра $H = 3r + r = 4r$, откуда $r = \frac{H}{4}$.

Расстояние от вершины тетраэдра до центра вписанной сферы равно $3r = 3 \cdot \frac{H}{4} = \frac{3}{4}H$. Расстояние от вершины до секущей плоскости равно $h_{верх} = \frac{4}{5}H$. Сравним эти два расстояния: $\frac{4}{5}H = 0.8H$ и $\frac{3}{4}H = 0.75H$. Так как $0.8H > 0.75H$, секущая плоскость находится дальше от вершины, чем центр сферы, то есть ниже центра сферы.

Найдём расстояние $d$ от центра сферы до секущей плоскости:$$ d = h_{верх} - 3r = \frac{4}{5}H - \frac{3}{4}H = \frac{16H - 15H}{20} = \frac{H}{20} $$Секущая плоскость делит сферу на два шаровых сегмента. Высота верхнего сегмента (ближнего к вершине) равна $h_1 = r - d$.$$ h_1 = \frac{H}{4} - \frac{H}{20} = \frac{5H - H}{20} = \frac{4H}{20} = \frac{H}{5} $$Высота нижнего сегмента равна $h_2 = r + d$.$$ h_2 = \frac{H}{4} + \frac{H}{20} = \frac{5H + H}{20} = \frac{6H}{20} = \frac{3H}{10} $$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сег} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента. В нашем случае $R=r$.

Объём верхнего сегмента сферы $V_{сф.верх}$:$$ V_{сф.верх} = \frac{1}{3}\pi h_1^2 (3r - h_1) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{H}{5}\right)^2 \left(3\frac{H}{4} - \frac{H}{5}\right) = \frac{\pi H^2}{75} \left(\frac{15H - 4H}{20}\right) = \frac{\pi H^2}{75} \frac{11H}{20} = \frac{11\pi H^3}{1500} $$Объём нижнего сегмента сферы $V_{сф.низ}$:$$ V_{сф.низ} = \frac{1}{3}\pi h_2^2 (3r - h_2) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3H}{10}\right)^2 \left(3\frac{H}{4} - \frac{3H}{10}\right) = \frac{9\pi H^2}{300} \left(\frac{15H - 6H}{20}\right) = \frac{3\pi H^2}{100} \frac{9H}{20} = \frac{27\pi H^3}{2000} $$

Найдём отношение объёмов этих сегментов, которое соответствует отношению объёмов частей тетраэдра (верхней к нижней):$$ \frac{V_{сф.верх}}{V_{сф.низ}} = \frac{\frac{11\pi H^3}{1500}}{\frac{27\pi H^3}{2000}} = \frac{11}{1500} \cdot \frac{2000}{27} = \frac{11 \cdot 20}{15 \cdot 27} = \frac{11 \cdot 4}{3 \cdot 27} = \frac{44}{81} $$

Ответ: 44 : 81.