Номер 644, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

644. Сферический сектор есть поверхность, образуемая при вращении дуги окружности вокруг прямой, проходящей через центр окружности, лежащей в ее плоскости и не имеющей с дугой общих внутренних точек. Различают два вида сферических секторов, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит оси вращения один из крайних радиусов дуги. Один из этих секторов ограничен сегментом и конической поверхностью (рис. 212), другой — сферическим поясом и двумя коническими поверхностями (рис. 213). Высота сегмента для первого сектора или перпендикуляр, опущенный из плоскости основания одной конической поверхности на плоскость основания другой поверхности, для второго сектора называется высотой сферического сектора. Найдите центральный угол в осевом сечении сферического сектора, учитывая, что его сегмент равновелик его конической поверхности (см. рис. 212).

Рис. 212

Рис. 213

Рис. 212

Для решения задачи обозначим радиус сферы, из которой образован сектор, как $R$, а половину искомого центрального угла в осевом сечении как $\alpha$. Таким образом, сам центральный угол равен $2\alpha$.

Сферический сектор, изображенный на рис. 212, состоит из конуса и сферического сегмента. Выразим их ключевые размеры через радиус сферы $R$ и угол $\alpha$:

• Высота конуса: $H_{конуса} = R \cos\alpha$.
• Радиус основания конуса (и сегмента): $r = R \sin\alpha$.
• Высота сферического сегмента: $h = R - H_{конуса} = R(1 - \cos\alpha)$.

Теперь запишем формулы для объемов конуса ($V_{конуса}$) и сферического сегмента ($V_{сегмента}$).

Объем конуса:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (R \sin\alpha)^2 (R \cos\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Объем сферического сегмента:$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.
Подставив в формулу выражение для $h$, получим:$V_{сегмента} = \pi (R(1 - \cos\alpha))^2 \left(R - \frac{R(1 - \cos\alpha)}{3}\right)$$V_{сегмента} = \pi R^2 (1 - \cos\alpha)^2 \cdot R\left(1 - \frac{1 - \cos\alpha}{3}\right)$$V_{сегмента} = \pi R^3 (1 - \cos\alpha)^2 \frac{3 - (1 - \cos\alpha)}{3} = \frac{1}{3}\pi R^3 (1 - \cos\alpha)^2 (2 + \cos\alpha)$.

В условии сказано, что сегмент равновелик его конической части. Термин "равновеликий" для объемных тел означает равенство объемов. Фраза "конической поверхности" в условии, по всей видимости, является неточностью и должна трактоваться как "конической части" (т.е. конусу). Таким образом, условие задачи заключается в равенстве объемов: $V_{сегмента} = V_{конуса}$.

Приравняем полученные выражения для объемов:$\frac{1}{3}\pi R^3 (1 - \cos\alpha)^2 (2 + \cos\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{1}{3}\pi R^3$:$(1 - \cos\alpha)^2 (2 + \cos\alpha) = \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)$:$(1 - \cos\alpha)^2 (2 + \cos\alpha) = (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) \cos\alpha$.

Поскольку для невырожденного сектора угол $\alpha \neq 0$, то $\cos\alpha \neq 1$, и можно без потери корней сократить обе части на $(1 - \cos\alpha)$:$(1 - \cos\alpha)(2 + \cos\alpha) = (1 + \cos\alpha)\cos\alpha$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$2 + \cos\alpha - 2\cos\alpha - \cos^2\alpha = \cos\alpha + \cos^2\alpha$$2 - \cos\alpha - \cos^2\alpha = \cos\alpha + \cos^2\alpha$$2\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 2 = 0$.

Разделим все уравнение на 2:$\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\cos\alpha$. Решим его:Пусть $x = \cos\alpha$, тогда $x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $\alpha$ — это половина угла при вершине конуса, он является острым углом ($0 < \alpha < \pi/2$), следовательно, его косинус должен быть положительным. Выбираем единственный положительный корень:$\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Искомый центральный угол в осевом сечении равен $2\alpha$. Зная косинус угла $\alpha$, мы можем выразить искомый угол через функцию арккосинуса.

Ответ: $2 \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.