Номер 647, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

647. Поверхность сферического сегмента вместе с площадью круга, ограниченного его основанием, равна $S$. Найдите высоту сегмента, учитывая, что радиус сферы равен $R$.

Пусть $h$ — искомая высота сферического сегмента, $R$ — радиус сферы, а $r$ — радиус круга в основании сегмента.

Полная поверхность сферического сегмента $S$, указанная в условии, представляет собой сумму площади боковой поверхности сегмента (также называемой сферическим сводом), $S_{св}$, и площади его основания (круга), $S_{осн}$.

Таким образом, мы можем записать: $S = S_{св} + S_{осн}$.

Площадь сферического свода вычисляется по формуле: $S_{св} = 2 \pi R h$.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

Подставляя эти формулы в исходное выражение, получаем: $S = 2 \pi R h + \pi r^2$.

Для того чтобы найти $h$, нам необходимо выразить радиус основания $r$ через известные величины $R$ и $h$. Для этого рассмотрим осевое сечение сферы, проходящее через центр. В сечении мы получим круг радиуса $R$ и сегмент этого круга высотой $h$. Радиус основания $r$, высота $h$ и радиус сферы $R$ образуют прямоугольный треугольник, катетами которого являются $r$ и отрезок, равный $(R-h)$, а гипотенузой — радиус сферы $R$.

Согласно теореме Пифагора, мы имеем: $R^2 = r^2 + (R-h)^2$.

Выразим $r^2$ из этого соотношения:
$r^2 = R^2 - (R-h)^2$
$r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2)$
$r^2 = 2Rh - h^2$

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу для площади $S$:
$S = 2 \pi R h + \pi (2Rh - h^2)$
$S = 2 \pi R h + 2 \pi R h - \pi h^2$
$S = 4 \pi R h - \pi h^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $h$. Приведем его к стандартному виду $ah^2 + bh + c = 0$:
$\pi h^2 - 4 \pi R h + S = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
$h = \frac{-(-4 \pi R) \pm \sqrt{(-4 \pi R)^2 - 4 \cdot \pi \cdot S}}{2 \pi}$
$h = \frac{4 \pi R \pm \sqrt{16 \pi^2 R^2 - 4 \pi S}}{2 \pi}$
Вынесем $4\pi$ из-под корня:
$h = \frac{4 \pi R \pm 2\sqrt{4 \pi^2 R^2 - \pi S}}{2 \pi}$
Разделим числитель и знаменатель на $2\pi$:
$h = 2R \pm \frac{\sqrt{4 \pi^2 R^2 - \pi S}}{\pi}$
Внесем $\pi$ под знак корня:
$h = 2R \pm \sqrt{\frac{4 \pi^2 R^2 - \pi S}{\pi^2}}$
$h = 2R \pm \sqrt{\frac{4 \pi R^2 - S}{\pi}}$

Мы получили два потенциальных решения:
$h_1 = 2R + \sqrt{\frac{4 \pi R^2 - S}{\pi}}$
$h_2 = 2R - \sqrt{\frac{4 \pi R^2 - S}{\pi}}$

По своему физическому смыслу, высота сферического сегмента $h$ не может быть больше диаметра сферы $2R$. Следовательно, должно выполняться условие $0 < h \le 2R$. Корень $h_1$ всегда будет больше $2R$ (при условии, что подкоренное выражение положительно), поэтому он не является решением задачи.

Таким образом, единственно верным решением является $h_2$.

Ответ: $h = 2R - \sqrt{\frac{4 \pi R^2 - S}{\pi}}$