Номер 645, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

645. Площадь поверхности сферического сегмента равновелика боковой поверхности конуса, основание которого совпадает с основанием сегмента, а вершина лежит на сфере (рис. 214). Найдите угол между образующей конуса и его осью.

Рис. 214

Пусть $R$ — радиус сферы, $h$ — высота сферического сегмента, $r$ — радиус общего основания сегмента и конуса, $l$ — образующая конуса, а $\alpha$ — искомый угол между образующей конуса и его осью.

Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле: $S_{сегм} = 2\pi R h$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок.кон} = \pi r l$.

По условию задачи эти площади равны, следовательно:

$2\pi R h = \pi r l$

$2Rh = rl \quad (1)$

Теперь выразим все переменные через радиус сферы $R$ и искомый угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение. Сфера будет представлена окружностью радиуса $R$, а конус — равнобедренным треугольником, вписанным в эту окружность. Образующая конуса $l$ является хордой этой окружности. Угол между образующей $l$ и осью конуса, проходящей через центр сферы, равен $\alpha$. В треугольнике, образованном двумя радиусами сферы, проведенными к концам образующей, и самой образующей, угол при вершине конуса (на окружности) равен $\alpha$. По следствию из теоремы синусов для этого треугольника (или из геометрии вписанного угла), длина хорды $l$ связана с радиусом описанной окружности $R$ как $l = 2R \cos \alpha$.

Из прямоугольного треугольника, образованного осью конуса (высотой), его образующей и радиусом основания, имеем:

$r = l \sin \alpha = (2R \cos \alpha) \sin \alpha = R \sin(2\alpha)$

Высота конуса $H_{кон} = l \cos \alpha = (2R \cos \alpha) \cos \alpha = 2R \cos^2 \alpha$.

Согласно рисунку, вершина конуса и самая удаленная точка сферического сегмента являются противоположными полюсами сферы. Это означает, что высота конуса $H_{кон}$ и высота сферического сегмента $h$ в сумме дают диаметр сферы:

$H_{кон} + h = 2R$

Отсюда находим высоту сегмента:

$h = 2R - H_{кон} = 2R - 2R \cos^2 \alpha = 2R(1 - \cos^2 \alpha) = 2R \sin^2 \alpha$.

Теперь подставим полученные выражения для $h$, $r$ и $l$ в исходное уравнение (1):

$2R (2R \sin^2 \alpha) = (R \sin(2\alpha)) (2R \cos \alpha)$

Распишем $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$4R^2 \sin^2 \alpha = (R \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha) (2R \cos \alpha)$

$4R^2 \sin^2 \alpha = 4R^2 \sin \alpha \cos^2 \alpha$

Поскольку конус невырожденный, угол $\alpha$ не равен нулю, и $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $4R^2 \sin \alpha$:

$\sin \alpha = \cos^2 \alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$\sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin \alpha$:

$\sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1 = 0$

Решим это уравнение. Пусть $x = \sin \alpha$:

$x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как $\alpha$ — это острый угол в геометрической фигуре ($0 < \alpha < 90^\circ$), его синус должен быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком "плюс":

$\sin \alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Отсюда искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.