Номер 643, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

643. Сфера высекает из плоскости круг, площадь которого относится к площади поверхности полученного сферического сегмента как $n:m$. Найдите величину дуги осевого сечения сегмента.

Пусть $R$ — радиус сферы, $h$ — высота сферического сегмента, а $r$ — радиус круга в основании сегмента.

Площадь круга, высекаемого плоскостью, равна $S_{круг} = \pi r^2$.

Площадь поверхности сферического сегмента (его сферической части) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$.

По условию задачи, отношение этих площадей равно $n:m$:

$\frac{S_{круг}}{S_{сегм}} = \frac{\pi r^2}{2\pi R h} = \frac{r^2}{2Rh} = \frac{n}{m}$.

Рассмотрим осевое сечение сферы. Оно представляет собой круг радиуса $R$. Радиус основания сегмента $r$, высота сегмента $h$ и радиус сферы $R$ связаны через прямоугольный треугольник, катетами которого являются $r$ и $(R-h)$, а гипотенузой — $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (R-h)^2$.

Выразим $r^2$ из этого соотношения:

$r^2 = R^2 - (R-h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$.

Подставим это выражение для $r^2$ в исходное отношение площадей:

$\frac{2Rh - h^2}{2Rh} = \frac{n}{m}$.

Разделим почленно левую часть:

$1 - \frac{h^2}{2Rh} = \frac{n}{m}$

$1 - \frac{h}{2R} = \frac{n}{m}$.

Отсюда найдем отношение $\frac{h}{R}$:

$\frac{h}{2R} = 1 - \frac{n}{m} = \frac{m-n}{m}$

$\frac{h}{R} = \frac{2(m-n)}{m}$.

Величина дуги осевого сечения сегмента — это центральный угол $\alpha$, опирающийся на хорду, которая является диаметром основания сегмента. В осевом сечении мы имеем сектор круга, и искомый угол — это угол этого сектора.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания сегмента $r$ и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения $R-h$, косинус половины центрального угла $\frac{\alpha}{2}$ равен:

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R-h}{R} = 1 - \frac{h}{R}$.

Подставим найденное ранее выражение для $\frac{h}{R}$:

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \frac{2(m-n)}{m} = \frac{m - 2(m-n)}{m} = \frac{m - 2m + 2n}{m} = \frac{2n-m}{m}$.

Следовательно, искомая величина дуги осевого сечения равна:

$\alpha = 2 \arccos\left(\frac{2n-m}{m}\right)$.

Ответ: $2 \arccos\left(\frac{2n-m}{m}\right)$.