Номер 648, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

648. Круговой сегмент с дугой $120^\circ$ и площадью $Q$ вращается вокруг своей высоты. Найдите полную поверхность полученного тела.

При вращении кругового сегмента вокруг своей высоты образуется тело, состоящее из шарового сегмента (шапочки) и его основания (круга). Полная поверхность этого тела равна сумме площади боковой поверхности шарового сегмента и площади его основания.

Пусть $R$ — радиус круга, из которого взят сегмент. Площадь кругового сегмента $Q$ с центральным углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

$Q = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{1}{2}R^2(\alpha_{рад} - \sin\alpha)$

По условию, дуга сегмента равна $120^\circ$. Переведем градусы в радианы:

$\alpha = 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Найдем синус угла:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу для площади сегмента:

$Q = \frac{1}{2}R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = R^2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$.

Выразим $R^2$ через $Q$:

$R^2 = \frac{Q}{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{Q}{\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{12}} = \frac{12Q}{4\pi - 3\sqrt{3}}$.

Теперь найдем параметры тела вращения.

Высота шарового сегмента $h$ равна высоте кругового сегмента:

$h = R - R\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R - R\cos\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = R - R\cos(60^\circ) = R - R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Площадь боковой поверхности шарового сегмента $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$.

$S_{бок} = 2\pi R \left(\frac{R}{2}\right) = \pi R^2$.

Радиус основания шарового сегмента $r$ равен половине длины хорды, стягивающей дугу $120^\circ$:

$r = R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = R\sin(60^\circ) = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Площадь основания $S_{осн}$ (круга радиусом $r$):

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{3R^2}{4} = \frac{3\pi}{4}R^2$.

Полная поверхность полученного тела $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R^2 + \frac{3\pi}{4}R^2 = \frac{4\pi R^2 + 3\pi R^2}{4} = \frac{7\pi R^2}{4}$.

Подставим ранее найденное выражение для $R^2$:

$S_{полн} = \frac{7\pi}{4} \cdot \left(\frac{12Q}{4\pi - 3\sqrt{3}}\right) = \frac{7\pi \cdot 3Q}{4\pi - 3\sqrt{3}} = \frac{21\pi Q}{4\pi - 3\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{21\pi Q}{4\pi - 3\sqrt{3}}$.