Номер 655, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

655. Центр сферы является центром прямоугольного параллелепипеда с измерениями 30 см, 48 см и 50 см. Найдите площадь той части параллелепипеда, которая находится внутри сферы, учитывая, что сфера касается двух граней параллелепипеда и пересекает остальные грани.

Рис. 216

45 см

25 см

Для решения задачи введем систему координат с центром в центре прямоугольного параллелепипеда и сферы. Оси координат направим параллельно ребрам параллелепипеда.

Пусть измерения параллелепипеда равны $a = 30$ см, $b = 48$ см и $c = 50$ см. Тогда его грани расположены в плоскостях:

• $x = \pm a/2 = \pm 15$ см
• $y = \pm b/2 = \pm 24$ см
• $z = \pm c/2 = \pm 25$ см

1. Определение радиуса сферы

По условию, сфера касается двух граней и пересекает остальные. Касание происходит, если радиус сферы $R$ равен расстоянию от центра до грани. Пересечение происходит, если радиус больше этого расстояния.

Расстояния от центра до граней равны половинам соответствующих измерений: 15 см, 24 см и 25 см.

Если бы $R = 15$ см, сфера бы касалась двух граней, но не пересекала бы остальные (так как $15 < 24$ и $15 < 25$).

Если бы $R = 24$ см, сфера бы касалась двух граней, пересекала бы грани на расстоянии 15 см, но не достигала бы граней на расстоянии 25 см.

Следовательно, единственно возможный вариант, удовлетворяющий условию, это $R = 25$ см. В этом случае сфера:

• Касается двух граней, находящихся на расстоянии 25 см от центра (плоскости $z = \pm 25$ см).
• Пересекает четыре грани, находящиеся на расстояниях 15 см и 24 см (плоскости $x = \pm 15$ см и $y = \pm 24$ см), так как $25 > 15$ и $25 > 24$.

Итак, радиус сферы $R = 25$ см.

2. Расчет площади на пересекаемых гранях

Нам нужно найти площадь частей граней, которые находятся внутри сферы. Уравнение сферы с центром в начале координат: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 25^2 = 625$.

Грани, которых сфера касается (при $z = \pm 25$), имеют с ней только одну общую точку. Площадь точки равна нулю, поэтому эти грани не вносят вклада в искомую площадь.

Рассмотрим остальные четыре грани, которые сфера пересекает.

а) Грани в плоскостях $x = \pm 15$ см

Эти грани имеют размеры $b \times c = 48 \times 50$ см. Сечение сферы плоскостью $x = 15$ представляет собой окружность. Найдем ее уравнение:

$15^2 + y^2 + z^2 = 25^2$

$225 + y^2 + z^2 = 625$

$y^2 + z^2 = 400$

Это уравнение окружности с радиусом $r_1 = \sqrt{400} = 20$ см. Поскольку размеры грани $48 \times 50$ см (т.е. $y$ изменяется от -24 до 24, а $z$ от -25 до 25), а радиус окружности $r_1=20$ см меньше чем 24 и 25, то вся окружность лежит внутри грани. Площадь этого круга равна:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi$ см².

Так как таких граней две (при $x=15$ и $x=-15$), их суммарная площадь внутри сферы составит $2 \cdot S_1 = 800\pi$ см².

б) Грани в плоскостях $y = \pm 24$ см

Эти грани имеют размеры $a \times c = 30 \times 50$ см. Сечение сферы плоскостью $y = 24$ также является окружностью. Найдем ее уравнение:

$x^2 + 24^2 + z^2 = 25^2$

$x^2 + 576 + z^2 = 625$

$x^2 + z^2 = 49$

Это уравнение окружности с радиусом $r_2 = \sqrt{49} = 7$ см. Размеры грани $30 \times 50$ см (т.е. $x$ изменяется от -15 до 15, а $z$ от -25 до 25), и радиус окружности $r_2=7$ см меньше чем 15 и 25. Таким образом, вся эта окружность также лежит внутри грани. Площадь этого круга равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 7^2 = 49\pi$ см².

Таких граней тоже две (при $y=24$ и $y=-24$), их суммарная площадь внутри сферы составит $2 \cdot S_2 = 98\pi$ см².

3. Общая площадь

Искомая площадь - это сумма площадей всех частей граней, находящихся внутри сферы.

$S_{общ} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2 = 800\pi + 98\pi = 898\pi$ см².

Ответ: $898\pi$ см².