Номер 661, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

661. Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг оси, параллельной катету и отстоящей от него на равный ему отрезок. Докажите, что полученное тело равновелико шару, радиус которого равен катету.

Для доказательства утверждения введем декартову систему координат и определим объем тела вращения, используя вторую теорему Паппа — Гюльдена.

Пусть нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину его катетов как $a$. Разместим треугольник в системе координат так, чтобы его вершины находились в точках $C(0, 0)$, $A(0, a)$ и $B(a, 0)$. Прямой угол, таким образом, находится в вершине $C$.

Согласно условию задачи, ось вращения параллельна одному из катетов. Выберем катет $AC$, который лежит на оси ординат ($Oy$). Уравнение этой прямой — $x=0$. Ось вращения отстоит от этого катета на расстояние, равное его длине, то есть на $a$. Это означает, что осью вращения может быть прямая $x=a$ или $x=-a$. Чтобы доказываемое равенство объемов выполнялось, ось вращения должна быть внешней по отношению к треугольнику. Ось $x=a$ проходит через вершину $B$ треугольника. Ось $x=-a$ полностью находится вне треугольника. Следовательно, будем считать, что вращение происходит вокруг оси $x=-a$.

Объем тела вращения $V$ можно найти по второй теореме Паппа — Гюльдена, которая гласит, что объем тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры $S$ на длину окружности, описываемой ее центроидом ($2\pi R$), где $R$ — расстояние от центроида до оси вращения:

$V = 2\pi R S$

1. Найдем площадь треугольника $S$.

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

2. Найдем координаты центроида треугольника.

Координаты центроида $(x_c, y_c)$ для треугольника с вершинами $A(0, a)$, $B(a, 0)$ и $C(0, 0)$ вычисляются как среднее арифметическое координат вершин:

$x_c = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$

$y_c = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$

3. Найдем расстояние $R$ от центроида до оси вращения $x=-a$.

Расстояние $R$ равно модулю разности абсцисс центроида и оси вращения:

$R = \left| x_c - (-a) \right| = \left| \frac{a}{3} + a \right| = \frac{4a}{3}$

4. Вычислим объем тела вращения $V$.

Подставим найденные значения $S$ и $R$ в формулу:

$V = 2\pi \cdot \frac{4a}{3} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{4}{3}\pi a^3$

Теперь найдем объем шара, радиус которого, по условию, равен катету треугольника, то есть $r=a$.

Объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Подставив $r=a$, получаем:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi a^3$

Сравнивая полученные объемы, мы видим, что $V = V_{шара}$. Таким образом, доказано, что полученное тело вращения равновелико (имеет тот же объем, что и) шару, радиус которого равен катету.

Ответ: Утверждение доказано.