Номер 665, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

665. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 1152 $\text{см}^2$, а его измерения относятся как 2 : 3 : 6. Найдите объем описанного шара.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b$ и $c$. Согласно условию, их отношение составляет $2:3:6$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда измерения можно выразить как: $a = 2x$ $b = 3x$ $c = 6x$

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2(ab + bc + ac)$

Подставим в формулу известные значения. Площадь полной поверхности равна $1152 \text{ см}^2$. $1152 = 2((2x)(3x) + (3x)(6x) + (2x)(6x))$ $1152 = 2(6x^2 + 18x^2 + 12x^2)$ $1152 = 2(36x^2)$ $1152 = 72x^2$

Теперь найдем значение $x$: $x^2 = \frac{1152}{72}$ $x^2 = 16$ $x = \sqrt{16} = 4$ (так как длина не может быть отрицательной).

Зная $x$, вычислим длины сторон параллелепипеда: $a = 2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$ $b = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}$ $c = 6x = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}$

Диаметр $D$ описанного шара равен пространственной диагонали $d$ параллелепипеда. Квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ $d^2 = 8^2 + 12^2 + 24^2$ $d^2 = 64 + 144 + 576$ $d^2 = 784$ $d = \sqrt{784} = 28 \text{ см}$

Диаметр шара $D = d = 28 \text{ см}$. Радиус шара $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{28}{2} = 14 \text{ см}$

Объем шара находится по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим значение радиуса: $V = \frac{4}{3}\pi (14)^3$ $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 2744$ $V = \frac{10976}{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ: $\frac{10976}{3}\pi \text{ см}^3$.