Номер 666, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

666. Из шара, состоящего из железного и медного полушаров, масса которого равна $M$ кг, вытачивается куб, диагональ которого равна диаметру шара. Найдите массу опилок.

Обозначим радиус шара как $R$, а его диаметр как $D = 2R$. Масса шара $M$ состоит из массы железного полушара $M_{ж}$ и медного полушара $M_{м}$. Плотности железа и меди обозначим как $\rho_{ж}$ и $\rho_{м}$ соответственно.

Объем каждого полушара равен $V_{п} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Тогда массы полушаров равны:

$M_{ж} = \rho_{ж} V_{п} = \rho_{ж} \frac{2}{3}\pi R^3$

$M_{м} = \rho_{м} V_{п} = \rho_{м} \frac{2}{3}\pi R^3$

Полная масса шара $M$ равна сумме масс полушаров:

$M = M_{ж} + M_{м} = (\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{2}{3}\pi R^3$. (1)

Из шара вытачивается куб. Обозначим сторону куба как $a$. По условию, диагональ куба $d$ равна диаметру шара $D$. Диагональ куба связана с его стороной соотношением $d = a\sqrt{3}$.

Приравниваем диагональ куба и диаметр шара:

$a\sqrt{3} = D = 2R$

Отсюда находим сторону куба:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Объем куба $V_{к}$ равен:

$V_{к} = a^3 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$

Поскольку куб вытачивается из шара, состоящего из двух разных полушаров, и вписан в него (что следует из равенства диагонали и диаметра), логично предположить, что куб расположен симметрично относительно центра шара. Это означает, что половина объема куба состоит из железа, а другая половина — из меди.

Масса выточенного куба $M_{к}$ равна сумме масс его железной и медной частей:

$M_{к} = \rho_{ж} \cdot \frac{V_{к}}{2} + \rho_{м} \cdot \frac{V_{к}}{2} = (\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{V_{к}}{2}$

$M_{к} = (\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{1}{2} \cdot \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} = (\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{4R^3}{3\sqrt{3}}$. (2)

Теперь выразим массу куба $M_{к}$ через общую массу шара $M$. Для этого разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{M_{к}}{M} = \frac{(\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{4R^3}{3\sqrt{3}}}{(\rho_{ж} + \rho_{м}) \frac{2\pi R^3}{3}}$

Сокращая общие множители, получаем:

$\frac{M_{к}}{M} = \frac{\frac{4R^3}{3\sqrt{3}}}{\frac{2\pi R^3}{3}} = \frac{4R^3}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2\pi R^3} = \frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

Отсюда масса куба:

$M_{к} = M \cdot \frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

Масса опилок $M_{о}$ — это разность между начальной массой шара $M$ и массой выточенного куба $M_{к}$:

$M_{о} = M - M_{к} = M - M \frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

Выносим $M$ за скобки:

$M_{о} = M \left(1 - \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\right)$

Ответ: $M \left(1 - \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\right)$ кг.