Номер 662, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Шар можно описать около многогранника тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка будет центром шара, а расстояние до вершин — его радиусом.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Центром симметрии прямоугольного параллелепипеда является точка пересечения его пространственных диагоналей. Обозначим эту точку $O$. Эта точка является серединой каждой из четырех диагоналей.

Пусть измерения параллелепипеда (длины его ребер, выходящих из одной вершины) равны $a, b, c$. Тогда квадрат длины любой пространственной диагонали $d$ равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Так как точка $O$ является серединой каждой диагонали, то расстояние от нее до любой вершины параллелепипеда равно половине длины диагонали. Обозначим это расстояние $R$.

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$

Поскольку все вершины равноудалены от точки $O$, то существует шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, около прямоугольного параллелепипеда можно описать шар.

Ответ: Доказано, что можно описать шар около прямоугольного параллелепипеда.

Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Шар можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. Известно, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности является центром многоугольника.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы соответственно. Так как призма прямая, отрезок $O_1O_2$ перпендикулярен плоскостям оснований, и его длина равна высоте призмы $h$. Центр искомого описанного шара $O$ будет лежать на середине отрезка $O_1O_2$.

Докажем, что точка $O$ равноудалена от всех вершин призмы. Пусть $A$ — произвольная вершина нижнего основания, а $r$ — радиус окружности, описанной около основания ($r = O_1A$). Расстояние от центра шара $O$ до вершины $A$ можно найти из прямоугольного треугольника $OO_1A$, где $OO_1 = \frac{h}{2}$.

Радиус шара $R$ будет равен $OA$: $R^2 = OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2$.

Это расстояние одинаково для всех вершин как нижнего, так и верхнего основания. Следовательно, все вершины призмы лежат на поверхности шара с центром в точке $O$ и радиусом $R = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2}$.

Ответ: Доказано, что можно описать шар около правильной призмы.

Прямая треугольная призма — это прямая призма, основанием которой является треугольник. Как и в общем случае для прямых призм, шар можно описать около нее тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Из планиметрии известно, что около любого треугольника можно описать окружность. Центр этой окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам) равноудален от всех трех вершин треугольника.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего треугольных оснований призмы. Пусть $h$ — высота призмы, а $r$ — радиус окружности, описанной около основания. Центр описанного шара $O$ находится на середине отрезка $O_1O_2$.

Аналогично рассуждениям в пункте б), расстояние от точки $O$ до любой вершины призмы будет одинаковым и равным радиусу шара $R = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2}$.

Так как существует точка $O$, равноудаленная от всех шести вершин прямой треугольной призмы, около нее можно описать шар.

Ответ: Доказано, что можно описать шар около прямой треугольной призмы.