Номер 669, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

669. Полная поверхность правильной четырехугольной призмы равна 1120 $см^2$. Найдите объем шара, описанного около этой призмы, учитывая, что ее боковое ребро равно 23 см.

Дано: правильная четырехугольная призма, у которой полная поверхность $S_{полн} = 1120 \text{ см}^2$ и боковое ребро (высота) $H = 23 \text{ см}$.
Нужно найти объем описанного около нее шара $V_{шара}$.

1. Найдем сторону основания призмы.
Полная поверхность призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Так как призма правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$.
Площадь одного основания: $S_{осн} = a^2$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 4aH$.
Подставим известные значения в формулу полной поверхности: $1120 = 4a \cdot 23 + 2a^2$
$1120 = 92a + 2a^2$
Разделим уравнение на 2 и приведем к стандартному виду: $a^2 + 46a - 560 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 46^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-560) = 2116 + 2240 = 4356$
$\sqrt{D} = \sqrt{4356} = 66$
Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-46 + 66}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$a_2 = \frac{-46 - 66}{2} = \frac{-112}{2} = -56$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, сторона основания призмы $a = 10 \text{ см}$.

2. Найдем радиус описанного шара.
Диаметр $D$ шара, описанного около правильной призмы, равен ее главной диагонали $d$.
Квадрат диагонали призмы равен сумме квадрата ее высоты и квадрата диагонали ее основания: $d^2 = H^2 + d_{осн}^2$.
Диагональ основания (квадрата со стороной $a=10$ см) равна: $d_{осн} = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}$.
Теперь найдем диагональ призмы: $d^2 = 23^2 + (10\sqrt{2})^2 = 529 + 100 \cdot 2 = 529 + 200 = 729$
$d = \sqrt{729} = 27 \text{ см}$.
Диаметр шара $D = d = 27 \text{ см}$.
Радиус шара $R = \frac{D}{2} = \frac{27}{2} \text{ см}$.

3. Найдем объем шара.
Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Подставим значение радиуса: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{27}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{27^3}{2^3} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 19683}{3 \cdot 8} = \frac{\pi \cdot 19683}{6} = \frac{6561\pi}{2} = 3280.5\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $3280.5\pi \text{ см}^3$.