Номер 671, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

671. Около шара описана правильная $n$-угольная пирамида, высота которой равна ребру основания. Найдите отношение объемов пирамиды и шара.

Пусть $V_п$ — объем пирамиды, а $V_ш$ — объем шара. Высота правильной $n$-угольной пирамиды равна $H$, а сторона ее основания равна $a$. По условию задачи $H = a$. Радиус шара, вписанного в пирамиду, обозначим как $R$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V_п = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Объем шара вычисляется по формуле:$V_ш = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Искомое отношение объемов:$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{\frac{1}{3} S_{осн} H}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{S_{осн} H}{4 \pi R^3}$.

Основание пирамиды — правильный $n$-угольник со стороной $a$. Площадь такого многоугольника и радиус вписанной в него окружности ($r$) равны:$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})$$S_{осн} = \frac{1}{2} P \cdot r = \frac{1}{2} (na) \left(\frac{a}{2} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = \frac{na^2}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Теперь найдем радиус $R$ вписанного шара. Центр вписанного шара в правильную пирамиду лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину $P$, центр основания $O$ и середину одной из сторон основания $M$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $POM$ с катетами $PO = H$ и $OM = r$. Гипотенуза $PM$ является апофемой (высотой боковой грани) пирамиды.

Центр шара $O_ш$ лежит на высоте $PO$. Расстояние от $O_ш$ до основания равно $R$, то есть $OO_ш = R$. Так как шар касается боковой грани, расстояние от его центра $O_ш$ до апофемы $PM$ также равно $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $POM$. Пусть $T$ — точка касания на гипотенузе $PM$. Прямоугольный треугольник $PO_шT$ подобен треугольнику $PMO$. Из подобия следует отношение сторон:$\frac{O_шT}{OM} = \frac{PO_ш}{PM}$Здесь $O_шT = R$, $OM = r$, $PO_ш = H - R$, а $PM = \sqrt{PO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + r^2}$. Получаем уравнение:$\frac{R}{r} = \frac{H - R}{\sqrt{H^2 + r^2}}$$R \sqrt{H^2 + r^2} = r(H - R) = Hr - Rr$$R(\sqrt{H^2 + r^2} + r) = Hr$$R = \frac{Hr}{r + \sqrt{H^2 + r^2}}$

Подставим в эту формулу $H=a$ и $r = \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})$:$R = \frac{a \cdot \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})}{\frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n}) + \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})\right)^2}} = \frac{\frac{a^2}{2} \cot(\frac{\pi}{n})}{\frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n}) + a\sqrt{1 + \frac{1}{4} \cot^2(\frac{\pi}{n})}}$Сократив на $a$, получим:$R = \frac{\frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})}{\frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{n}) + \frac{1}{2}\sqrt{4 + \cot^2(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a \cot(\frac{\pi}{n})}{\cot(\frac{\pi}{n}) + \sqrt{4 + \cot^2(\frac{\pi}{n})}}$

Теперь найдем искомое отношение объемов. Для удобства введем обозначение $c = \cot(\frac{\pi}{n})$.$S_{осн} = \frac{na^2}{4}c$$R = \frac{ac}{c + \sqrt{4+c^2}}$$V_п = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \left(\frac{na^2}{4}c\right) a = \frac{na^3c}{12}$$V_ш = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{ac}{c + \sqrt{4+c^2}}\right)^3 = \frac{4\pi a^3 c^3}{3(c + \sqrt{4+c^2})^3}$

$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{\frac{na^3c}{12}}{\frac{4\pi a^3 c^3}{3(c + \sqrt{4+c^2})^3}} = \frac{na^3c}{12} \cdot \frac{3(c + \sqrt{4+c^2})^3}{4\pi a^3 c^3} = \frac{3n c (c + \sqrt{4+c^2})^3}{48\pi c^3} = \frac{n(c + \sqrt{4+c^2})^3}{16\pi c^2}$

Подставляя обратно $c = \cot(\frac{\pi}{n})$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{n\left(\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{4 + \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^3}{16\pi \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}$