Номер 664, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

664. Около шара описан конус, высота которого вдвое больше диаметра шара. Найдите отношение поверхностей и отношение объемов этих тел.

Отношение поверхностей

Пусть $r$ — радиус шара. Тогда его диаметр равен $2r$. По условию задачи, высота конуса $H$ вдвое больше диаметра шара, то есть: $H = 2 \cdot (2r) = 4r$.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник (сечение конуса) с вписанной в него окружностью (сечение шара). Высота треугольника равна $H$, радиус вписанной окружности равен $r$. Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Осевое сечение конуса образует прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $R$ и гипотенузой $L$. Внутри него можно выделить подобный ему прямоугольный треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра шара (длиной $H-r$), радиусом шара $r$, проведенным в точку касания с образующей, и частью образующей.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их сторон: $\frac{R}{r} = \frac{H}{\sqrt{(H-r)^2 - r^2}}$ Подставим $H = 4r$: $\frac{R}{r} = \frac{4r}{\sqrt{(4r-r)^2 - r^2}} = \frac{4r}{\sqrt{(3r)^2 - r^2}} = \frac{4r}{\sqrt{9r^2 - r^2}} = \frac{4r}{\sqrt{8r^2}} = \frac{4r}{2r\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Отсюда находим радиус основания конуса: $R = r\sqrt{2}$.

Теперь найдем образующую конуса $L$: $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(4r)^2 + (r\sqrt{2})^2} = \sqrt{16r^2 + 2r^2} = \sqrt{18r^2} = 3r\sqrt{2}$.

Площадь поверхности шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi r^2$.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{конуса}$) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{конуса} = \pi R^2 + \pi R L = \pi (r\sqrt{2})^2 + \pi (r\sqrt{2})(3r\sqrt{2}) = \pi(2r^2) + \pi(6r^2) = 8\pi r^2$.

Найдем искомое отношение поверхностей: $\frac{S_{конуса}}{S_{шара}} = \frac{8\pi r^2}{4\pi r^2} = 2$.

Ответ: 2.

Отношение объемов

Объем шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Объем конуса ($V_{конуса}$) вычисляется по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Используя найденные ранее значения $R=r\sqrt{2}$ и $H=4r$, получаем: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (r\sqrt{2})^2 (4r) = \frac{1}{3}\pi (2r^2) (4r) = \frac{8}{3}\pi r^3$.

Найдем искомое отношение объемов: $\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.