Номер 667, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

667. В полый конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$, который зафиксирован вертикально вершиной вниз, до высоты $a$ налита вода. Определите, на сколько поднимется уровень воды, если в конус опустить металлический шар с радиусом $r$, который полностью покрывается водой.

Для решения задачи воспользуемся принципом, согласно которому объем воды в конусе после погружения шара равен объему конуса, заполненного до нового уровня, за вычетом объема погруженного шара. Это эквивалентно тому, что объем конуса, заполненного до нового уровня, равен сумме начального объема воды и объема шара.

1. Найдем связь между радиусом и высотой в любой точке конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2R$. Любой горизонтальный срез на высоте $y$ от вершины является кругом с радиусом $R_y$. Из подобия треугольников следует соотношение: $\frac{R_y}{y} = \frac{R}{h}$, откуда $R_y = \frac{R}{h}y$.

2. Вычислим начальный объем воды $V_{воды}$. Вода в конусе образует меньший конус с высотой $a$ и радиусом основания $R_a = \frac{R}{h}a$. Его объем равен: $V_{воды} = \frac{1}{3}\pi R_a^2 a = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R}{h}a\right)^2 a = \frac{\pi R^2 a^3}{3h^2}$.

3. Объем металлического шара $V_{шара}$ с радиусом $r$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

4. После погружения шара уровень воды поднимется до новой высоты $H$. Общий объем, занимаемый водой и шаром, будет равен объему конуса с высотой $H$, то есть $V_H$. Этот объем равен сумме начального объема воды и объема шара: $V_H = V_{воды} + V_{шара}$.

Объем конуса высотой $H$ равен $V_H = \frac{\pi R^2 H^3}{3h^2}$. Подставим все известные объемы в уравнение:$\frac{\pi R^2 H^3}{3h^2} = \frac{\pi R^2 a^3}{3h^2} + \frac{4}{3}\pi r^3$.

5. Решим это уравнение относительно $H$. Умножим обе части на $\frac{3}{\pi}$: $\frac{R^2 H^3}{h^2} = \frac{R^2 a^3}{h^2} + 4r^3$.

Выразим $H^3$:$H^3 = a^3 + 4r^3 \frac{h^2}{R^2}$.

Отсюда новая высота уровня воды:$H = \sqrt[3]{a^3 + \frac{4h^2 r^3}{R^2}}$.

6. Искомая величина — это разница между новым и старым уровнями воды, то есть $\Delta H = H - a$. $\Delta H = \sqrt[3]{a^3 + \frac{4h^2 r^3}{R^2}} - a$.

Ответ: $\sqrt[3]{a^3 + \frac{4h^2 r^3}{R^2}} - a$