Номер 672, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

672. Шар описан около правильной $n$-угольной пирамиды, высота которой равна ребру основания. Найдите отношение объемов пирамиды и этого шара.

Обозначим сторону основания правильной n-угольной пирамиды через $a$, а ее высоту — через $H$. По условию задачи, высота равна ребру основания, то есть $H = a$. Нам нужно найти отношение объема пирамиды ($V_п$) к объему описанного шара ($V_ш$).

Нахождение объема пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_п = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Основанием является правильный n-угольник со стороной $a$. Его площадь $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$

Подставляя $S_{осн}$ и $H = a$ в формулу объема пирамиды, получаем:

$V_п = \frac{1}{3} \cdot \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot a = \frac{n a^3}{12 \tan(\frac{\pi}{n})}$

Нахождение радиуса описанного шара

Для нахождения объема шара $V_ш = \frac{4}{3} \pi R^3$ необходимо определить его радиус $R$.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус такого шара можно найти по формуле:

$R = \frac{R_{осн}^2 + H^2}{2H}$, где $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Для правильного n-угольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:

$R_{осн} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$

Подставим выражения для $R_{осн}$ и $H = a$ в формулу для радиуса шара $R$:

$R = \frac{\left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\right)^2 + a^2}{2a} = \frac{\frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})} + a^2}{2a}$

Упростим это выражение:

$R = \frac{a^2 \left(\frac{1}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})} + 1\right)}{2a} = \frac{a}{2} \left(\frac{1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}\right) = \frac{a(1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))}{8 \sin^2(\frac{\pi}{n})}$

Нахождение объема шара

Теперь подставим найденный радиус $R$ в формулу объема шара:

$V_ш = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a(1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))}{8 \sin^2(\frac{\pi}{n})}\right)^3$

$V_ш = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3 (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}{8^3 \sin^6(\frac{\pi}{n})} = \frac{4 \pi a^3 (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}{3 \cdot 512 \sin^6(\frac{\pi}{n})} = \frac{\pi a^3 (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}{384 \sin^6(\frac{\pi}{n})}$

Нахождение отношения объемов

Найдем искомое отношение объемов $\frac{V_п}{V_ш}$:

$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{\frac{n a^3}{12 \tan(\frac{\pi}{n})}}{\frac{\pi a^3 (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}{384 \sin^6(\frac{\pi}{n})}}$

Сократим $a^3$ и преобразуем, используя $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{n}{12 \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}} \cdot \frac{384 \sin^6(\frac{\pi}{n})}{\pi (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}$

$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{n \cos(\frac{\pi}{n})}{12 \sin(\frac{\pi}{n})} \cdot \frac{384 \sin^6(\frac{\pi}{n})}{\pi (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}$

Так как $\frac{384}{12} = 32$, окончательно получаем:

$\frac{V_п}{V_ш} = \frac{32 n \cos(\frac{\pi}{n}) \sin^5(\frac{\pi}{n})}{\pi (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}$

Ответ: $\frac{32 n \cos(\frac{\pi}{n}) \sin^5(\frac{\pi}{n})}{\pi (1 + 4 \sin^2(\frac{\pi}{n}))^3}$.