Номер 668, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

668. В правильной четырехугольной призме боковое ребро и ребро основания равны 17 см и 6 см соответственно (рис. 217). Найдите объем шара, описанного около этой призмы.

Рис. 217

По условию, нам дана правильная четырехугольная призма. Это означает, что в основании призмы лежит квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Обозначим сторону основания (ребро основания) как $a$ и боковое ребро (высоту призмы) как $h$. Из условия задачи имеем: $a = 6$ см. $h = 17$ см.

Шар, описанный около призмы, проходит через все ее вершины. Диаметр такого шара ($D_{шара}$) равен главной диагонали призмы ($D_{призмы}$). Радиус шара $R$ будет равен половине этой диагонали.

Для нахождения главной диагонали призмы можно использовать пространственную теорему Пифагора. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). В нашем случае длина и ширина равны стороне квадрата $a$, а высота равна $h$.

$D_{призмы}^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$

Подставим в формулу числовые значения:

$D_{призмы}^2 = 2 \cdot (6)^2 + (17)^2 = 2 \cdot 36 + 289 = 72 + 289 = 361$

Теперь найдем длину диагонали:

$D_{призмы} = \sqrt{361} = 19$ см.

Диаметр описанного шара равен главной диагонали призмы: $D_{шара} = 19$ см.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{19}{2}$ см.

Объем шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение радиуса в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{19}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{19^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{6859}{8}$

Сократим полученное выражение:

$V = \frac{4 \cdot 6859 \cdot \pi}{3 \cdot 8} = \frac{6859\pi}{3 \cdot 2} = \frac{6859\pi}{6}$ см³.

Ответ: $\frac{6859\pi}{6}$ см³.