Номер 679, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

679. Правильная $n$-угольная призма описана около шара. Найдите угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания призмы.

Пусть $R$ — радиус шара, вписанного в правильную $n$-угольную призму. Условие, что призма описана около шара, означает, что шар касается всех ее граней.

1. Высота призмы. Поскольку шар касается верхнего и нижнего оснований призмы, расстояние между ними, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара. Таким образом, $H = 2R$.

2. Сторона основания. Поскольку шар касается всех боковых граней, его сечение плоскостью, равноудаленной от оснований, представляет собой окружность радиуса $R$, вписанную в правильный $n$-угольник (сечение призмы). Этот $n$-угольник конгруэнтен основаниям призмы. Пусть $a$ — сторона основания. Для правильного $n$-угольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ формулой:$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$. В нашем случае $r=R$, следовательно:$R = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$, откуда можно выразить сторону основания: $a = 2R \tan(\frac{\pi}{n})$.

3. Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания. Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Угол $\alpha$, который нужно найти, — это угол между диагональю этого прямоугольника и его стороной $a$, лежащей в плоскости основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани (гипотенуза), стороной основания $a$ (прилежащий катет) и высотой призмы $H$ (противолежащий катет). Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\alpha) = \frac{H}{a}$.

Подставим найденные выражения для $H$ и $a$ в эту формулу:$\tan(\alpha) = \frac{2R}{2R \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{n})}$.

Используя тригонометрическое тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, получаем:$\tan(\alpha) = \cot(\frac{\pi}{n})$.

Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся тождеством $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$:$\tan(\alpha) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n})$. Поскольку $\alpha$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, мы можем приравнять аргументы тангенсов:$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n}$.