Номер 660, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

660. Объем стенок полого шара равен $876\pi \text{ дм}^3$, толщина стенок — 8 дм. Найдите радиусы его поверхностей — внешней и внутренней.

Обозначим внешний радиус полого шара как $R$, а внутренний — как $r$. Толщина стенок шара представляет собой разность между внешним и внутренним радиусами.

Согласно условию задачи, толщина стенок равна 8 дм, что можно записать в виде уравнения:
$R - r = 8$.
Из этого уравнения выразим внешний радиус $R$:
$R = r + 8$.

Объем стенок полого шара $V_{\text{стенок}}$ вычисляется как разность объемов большого (внешнего) и малого (внутреннего) шаров. Формула для объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Таким образом, объем стенок равен:
$V_{\text{стенок}} = V_{\text{внешний}} - V_{\text{внутренний}} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$.

Из условия известно, что объем стенок составляет $876\pi \text{ дм}^3$. Подставим это значение в нашу формулу:
$876\pi = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на $\frac{3}{4}$, чтобы упростить его:
$R^3 - r^3 = 876 \cdot \frac{3}{4}$
$R^3 - r^3 = 219 \cdot 3$
$R^3 - r^3 = 657$.

Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $R = r + 8$
2. $R^3 - r^3 = 657$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:
$(r + 8)^3 - r^3 = 657$.

Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок:
$(r^3 + 3 \cdot r^2 \cdot 8 + 3 \cdot r \cdot 8^2 + 8^3) - r^3 = 657$
$r^3 + 24r^2 + 192r + 512 - r^3 = 657$.

После приведения подобных слагаемых получаем:
$24r^2 + 192r + 512 = 657$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$24r^2 + 192r + 512 - 657 = 0$
$24r^2 + 192r - 145 = 0$.

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 192^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-145) = 36864 + 96 \cdot 145 = 36864 + 13920 = 50784$.

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Корень из дискриминанта равен:
$\sqrt{D} = \sqrt{50784} = \sqrt{8464 \cdot 6} = 92\sqrt{6}$.
$r = \frac{-192 \pm 92\sqrt{6}}{2 \cdot 24} = \frac{-192 \pm 92\sqrt{6}}{48}$.

Поскольку радиус $r$ должен быть положительной величиной, мы выбираем корень со знаком "плюс":
$r = \frac{-192 + 92\sqrt{6}}{48}$.

Упростим полученное выражение, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4:
$r = \frac{-48 + 23\sqrt{6}}{12}$ дм.

Наконец, найдем внешний радиус $R$, подставив значение $r$ в выражение $R = r + 8$:
$R = \frac{-48 + 23\sqrt{6}}{12} + 8 = \frac{-48 + 23\sqrt{6}}{12} + \frac{96}{12} = \frac{-48 + 96 + 23\sqrt{6}}{12} = \frac{48 + 23\sqrt{6}}{12}$ дм.

Ответ: внутренний радиус $r = \frac{23\sqrt{6}-48}{12}$ дм, внешний радиус $R = \frac{23\sqrt{6}+48}{12}$ дм.