Номер 654, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

654. Сфера с радиусом $R$ касается всех боковых ребер правильной $n$-угольной призмы и плоскостей оснований. Найдите площадь той части сферы, которая находится внутри призмы.

1. Определение параметров призмы и их связи с радиусом сферы

Пусть центр сферы $O$ совпадает с началом координат. Поскольку сфера радиуса $R$ касается плоскостей верхнего и нижнего оснований правильной $n$-угольной призмы, ее центр $O$ должен быть равноудален от этих плоскостей. Это означает, что высота призмы $H$ равна диаметру сферы, а центр сферы лежит в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину высоты призмы.

Высота призмы: $H = 2R$.

Из соображений симметрии, ось призмы (прямая, соединяющая центры оснований) проходит через центр сферы $O$.

По условию, сфера касается всех боковых ребер призмы. Боковые ребра правильной призмы — это прямые, параллельные ее оси. Расстояние от точки на оси (центра сферы $O$) до любого бокового ребра является постоянным и равно радиусу окружности, описанной около основания призмы. Так как сфера касается этих ребер, это расстояние должно быть равно радиусу сферы $R$.

Следовательно, радиус окружности, описанной около основания призмы, равен $R$: $r_{опис} = R$.

2. Вычисление площади части сферы внутри призмы

Площадь части сферы, которая находится внутри призмы, можно найти, вычтя из полной площади поверхности сферы суммарную площадь тех ее частей, которые лежат вне призмы. Части сферы, лежащие вне призмы, отсекаются $n$ боковыми гранями призмы. Каждая боковая грань представляет собой плоскость, отсекающую от сферы сферический сегмент.

Полная площадь поверхности сферы: $S_{сферы} = 4\pi R^2$.

Найдем площадь одного такого сегмента. Расстояние от оси призмы (и центра сферы $O$) до каждой боковой грани равно радиусу окружности, вписанной в основание призмы ($r_{впис}$). Для правильного $n$-угольника связь между радиусом описанной ($r_{опис}$) и вписанной ($r_{впис}$) окружностей задается формулой:

$r_{впис} = r_{опис} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Поскольку мы установили, что $r_{опис} = R$, расстояние $d$ от центра сферы до плоскости боковой грани составляет:

$d = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$, где $h$ — высота сегмента. Высота сегмента — это разность между радиусом сферы и расстоянием от центра до секущей плоскости:

$h = R - d = R - R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = R\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

Таким образом, площадь одного сферического сегмента, отсекаемого боковой гранью и находящегося вне призмы, равна:

$S_{сегм} = 2\pi R \cdot h = 2\pi R \cdot R\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) = 2\pi R^2 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

У призмы $n$ боковых граней, и они отсекают $n$ одинаковых сферических сегментов. Суммарная площадь частей сферы, лежащих вне призмы, равна:

$S_{внеш} = n \cdot S_{сегм} = 2n\pi R^2 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

Искомая площадь части сферы внутри призмы $S_{внутр}$ находится как разность полной площади сферы и суммарной площади внешних сегментов:

$S_{внутр} = S_{сферы} - S_{внеш} = 4\pi R^2 - 2n\pi R^2 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

Упростим полученное выражение, вынеся за скобки общий множитель $2\pi R^2$:

$S_{внутр} = 2\pi R^2 \left[2 - n\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\right] = 2\pi R^2 \left(2 - n + n \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$

Ответ: $2\pi R^2 \left(2 - n + n \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$