Номер 651, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

651. Через точку, взятую на сфере, проведены две плоскости: касательная и та, которая разделяет сферу на части, площадь одной из которых есть среднее пропорциональное между площадью всей сферы и площадью остальной части. Найдите угол между ними.

Пусть дана сфера радиуса $R$. Площадь ее поверхности равна $S = 4\pi R^2$.

Через точку $P$ на сфере проведены две плоскости: касательная $\Pi_1$ и секущая $\Pi_2$. Секущая плоскость $\Pi_2$ разделяет сферу на две части (сферические сегменты) с площадями $S_1$ и $S_2$. По условию, площадь одной из частей является средним пропорциональным (геометрическим средним) между площадью всей сферы $S$ и площадью другой части. Запишем это в виде системы уравнений:

$S_1 + S_2 = S$
$S_1^2 = S \cdot S_2$

Для решения системы подставим $S_2 = S - S_1$ из первого уравнения во второе:

$S_1^2 = S(S - S_1)$

$S_1^2 + S \cdot S_1 - S^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $S_1$, используя формулу для корней:

$S_1 = \frac{-S \pm \sqrt{S^2 - 4(1)(-S^2)}}{2} = \frac{-S \pm \sqrt{S^2 + 4S^2}}{2} = \frac{-S \pm S\sqrt{5}}{2}$

Так как площадь не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень:

$S_1 = S \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Тогда площадь второй части равна:

$S_2 = S - S_1 = S - S \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = S \frac{2 - (\sqrt{5} - 1)}{2} = S \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Площадь сферического сегмента высотой $h$ на сфере радиуса $R$ определяется формулой $S_{сегм} = 2\pi R h$. Секущая плоскость находится на некотором расстоянии $d$ от центра сферы $O$. Она отсекает два сегмента, высоты которых равны $h_{малый} = R-d$ и $h_{больший} = R+d$. Возьмем, к примеру, меньший из двух сегментов. Его площадь $S_2 = S \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (поскольку $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.382$, что меньше половины площади сферы).

Приравняем площади, чтобы найти расстояние $d$:

$2\pi R h_{малый} = S_2$

$2\pi R (R-d) = 4\pi R^2 \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 2\pi R^2 (3-\sqrt{5})$

Разделив обе части на $2\pi R$, получим:

$R-d = R(3-\sqrt{5})$

$d = R - R(3-\sqrt{5}) = R(1-3+\sqrt{5}) = R(\sqrt{5}-2)$

Теперь найдем угол $\alpha$ между касательной плоскостью $\Pi_1$ и секущей плоскостью $\Pi_2$. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями.

Нормалью к касательной плоскости $\Pi_1$ в точке $P$ является радиус $OP$, проведенный в точку касания.

Нормалью к секущей плоскости $\Pi_2$ является перпендикуляр, опущенный на эту плоскость из центра сферы $O$. Пусть $M$ — основание этого перпендикуляра, тогда вектор $\vec{OM}$ — это вектор нормали к $\Pi_2$. Длина этого вектора равна расстоянию $d$ от центра до плоскости.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен углу между линиями $OP$ и $OM$, то есть $\alpha = \angle POM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMP$. Точка $P$ лежит на сфере и в секущей плоскости, $O$ — центр сферы, а $M$ — проекция $O$ на секущую плоскость. Этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $OP$ равна радиусу сферы $R$.
• Катет $OM$ равен расстоянию от центра до секущей плоскости, $|OM|=d=R(\sqrt{5}-2)$.

Косинус угла $\alpha = \angle POM$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OMP$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos \alpha = \frac{|OM|}{|OP|} = \frac{d}{R} = \frac{R(\sqrt{5}-2)}{R} = \sqrt{5}-2$

Таким образом, угол между плоскостями равен $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{5}-2)$.