Номер 652, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

652. Высота цилиндра и диаметр его основания равны между собой и равны 16 см. Центр осевого сечения цилиндра является центром сферы с радиусом 10 см. Найдите площадь той части сферы, которая находится вне цилиндра.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть центр сферы и центр осевого сечения цилиндра находятся в начале координат $O(0, 0, 0)$, а ось цилиндра совпадает с осью $Oz$.

Согласно условию, высота цилиндра $H = 16$ см, и диаметр его основания $D = 16$ см. Отсюда радиус основания цилиндра $r = D/2 = 16/2 = 8$ см. Цилиндр занимает область в пространстве, определяемую неравенствами:

$x^2 + y^2 \le r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 8^2 = 64$

$-H/2 \le z \le H/2 \Rightarrow -8 \le z \le 8$

Сфера имеет центр в начале координат и радиус $R = 10$ см. Уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 10^2 = 100$

Нам нужно найти площадь той части поверхности сферы, которая находится вне цилиндра. Точка на сфере находится вне цилиндра, если ее координаты не удовлетворяют одному из условий, определяющих цилиндр, то есть если $x^2 + y^2 > 64$ или $|z| > 8$.

Рассмотрим эти два случая:

1. Часть сферы, для которой $|z| > 8$.
Это две области на сфере: $z > 8$ и $z < -8$. Эти области представляют собой два одинаковых сферических сегмента (шапочки).Высота каждого из этих сегментов $h_1$ равна разности между радиусом сферы и расстоянием от центра до секущей плоскости:$h_1 = R - 8 = 10 - 8 = 2$ см.
Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h$.
Поскольку у нас два таких сегмента (верхний и нижний), их суммарная площадь $S_1$ равна:$S_1 = 2 \cdot S_{сегм} = 2 \cdot (2\pi R h_1) = 2 \cdot (2\pi \cdot 10 \cdot 2) = 80\pi$ см$^2$.

2. Часть сферы, для которой $x^2 + y^2 > 64$ и $|z| \le 8$.
Подставим в неравенство $x^2 + y^2 > 64$ выражение $x^2 + y^2$ из уравнения сферы: $x^2 + y^2 = 100 - z^2$.
Получим: $100 - z^2 > 64 \Rightarrow z^2 < 100 - 64 \Rightarrow z^2 < 36$.
Это неравенство выполняется при $|z| < 6$, то есть при $-6 < z < 6$. Эта часть сферы представляет собой сферический пояс, расположенный между плоскостями $z = -6$ и $z = 6$. Этот пояс "выступает" за боковую поверхность цилиндра. Высота этого сферического пояса $h_2 = 6 - (-6) = 12$ см.
Площадь сферического пояса вычисляется по формуле $S_{пояс} = 2\pi R h$.
Площадь этого пояса $S_2$ равна:$S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 10 \cdot 12 = 240\pi$ см$^2$.

Общая площадь части сферы, находящейся вне цилиндра, равна сумме площадей двух сферических сегментов и сферического пояса:$S_{вне} = S_1 + S_2 = 80\pi + 240\pi = 320\pi$ см$^2$.

Ответ: $320\pi$ см$^2$.