Номер 649, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

649. Сфера с радиусом $R$ пересекает сферу с радиусом $r$ и проходит через ее центр. Найдите часть поверхности первой сферы, находящейся внутри второй.

Пусть первая сфера, которую мы обозначим как $S_1$, имеет радиус $R$, а вторая сфера, $S_2$, имеет радиус $r$. Для решения задачи введем декартову систему координат.

Расположим центр сферы $S_1$ в начале координат $O_1(0, 0, 0)$. В этом случае уравнение сферы $S_1$ будет следующим: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Согласно условию, сфера $S_1$ проходит через центр сферы $S_2$. Это означает, что расстояние между их центрами, $O_1$ и $O_2$, равно радиусу первой сферы, то есть $R$. Мы можем разместить центр сферы $S_2$ на оси $Ox$ в точке $O_2(R, 0, 0)$. Тогда уравнение сферы $S_2$ примет вид: $(x-R)^2 + y^2 + z^2 = r^2$.

Мы ищем площадь той части поверхности сферы $S_1$, которая находится внутри сферы $S_2$. Точка $(x, y, z)$, лежащая на поверхности $S_1$, будет находиться внутри $S_2$, если ее координаты удовлетворяют неравенству, описывающему внутреннюю область шара $S_2$: $(x-R)^2 + y^2 + z^2 \le r^2$.

Преобразуем это неравенство, раскрыв скобки: $x^2 - 2Rx + R^2 + y^2 + z^2 \le r^2$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать уравнение сферы $S_1$: $(x^2 + y^2 + z^2) - 2Rx + R^2 \le r^2$.

Так как точка $(x, y, z)$ принадлежит сфере $S_1$, для нее выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Подставим это значение в неравенство: $R^2 - 2Rx + R^2 \le r^2$.

Упростим выражение: $2R^2 - 2Rx \le r^2$.

Теперь выразим координату $x$: $2R^2 - r^2 \le 2Rx$ $x \ge \frac{2R^2 - r^2}{2R}$.

Это неравенство определяет, что искомая часть поверхности сферы $S_1$ является сферическим сегментом (шапочкой), который отсекается от сферы плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и заданной уравнением $x = \frac{2R^2 - r^2}{2R}$.

Площадь поверхности сферического сегмента находится по формуле $S = 2\pi R_{сферы} h_{сегмента}$, где $R_{сферы}$ — это радиус сферы, а $h_{сегмента}$ — высота сегмента.

В нашем случае радиус сферы $S_1$ равен $R$. Высота сегмента $h$ — это расстояние от "вершины" сферы (в данном случае, точки $(R, 0, 0)$) до отсекающей плоскости. $h = R - x = R - \frac{2R^2 - r^2}{2R} = \frac{2R(R) - (2R^2 - r^2)}{2R} = \frac{2R^2 - 2R^2 + r^2}{2R} = \frac{r^2}{2R}$.

Наконец, подставим найденную высоту в формулу для площади сферического сегмента: $S = 2\pi R h = 2\pi R \left(\frac{r^2}{2R}\right) = \pi r^2$.

Ответ: $\pi r^2$.