Номер 650, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

650. Докажите, что боковая поверхность конуса, вписанного в сферический сегмент, есть среднее пропорциональное между площадью круга, ограниченного основанием, и поверхностью сегмента (рис. 215).

Рис. 215

Для доказательства введём обозначения в соответствии с рисунком:
$R$ – радиус сферы;
$h$ – высота конуса и сферического сегмента;
$r$ – радиус основания конуса и сегмента;
$l$ – образующая конуса.

Требуется доказать, что боковая поверхность конуса ($S_{бок}$) является средним пропорциональным (средним геометрическим) между площадью его основания ($S_{осн}$) и площадью поверхности сферического сегмента ($S_{сег}$). Математически это можно записать в виде равенства:
$S_{бок}^2 = S_{осн} \cdot S_{сег}$

Запишем формулы для каждой из этих площадей:
1. Площадь основания конуса (это круг радиуса $r$): $S_{осн} = \pi r^2$.
2. Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.
3. Площадь поверхности сферического сегмента: $S_{сег} = 2 \pi R h$.

Подставим эти формулы в доказываемое равенство:
$(\pi r l)^2 = (\pi r^2) \cdot (2 \pi R h)$
$\pi^2 r^2 l^2 = 2 \pi^2 r^2 R h$

Для невырожденного конуса $r \neq 0$, поэтому можно разделить обе части равенства на $\pi^2 r^2$:
$l^2 = 2 R h$

Теперь необходимо доказать справедливость этого геометрического соотношения для конуса, вписанного в сферический сегмент. Для этого рассмотрим осевое сечение фигуры.

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$l^2 = h^2 + r^2$ (1)

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (проведённым к окружности основания конуса), радиусом основания конуса $r$ и отрезком, соединяющим центр сферы с центром основания конуса. Длина этого отрезка равна $R-h$. По теореме Пифагора для этого треугольника:
$R^2 = r^2 + (R-h)^2$
Раскроем скобки в правой части:
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rh + h^2$
Сократим $R^2$ в обеих частях и выразим $r^2$:
$0 = r^2 - 2Rh + h^2$
$r^2 = 2Rh - h^2$ (2)

Наконец, подставим выражение для $r^2$ из равенства (2) в равенство (1):
$l^2 = h^2 + (2Rh - h^2)$
$l^2 = h^2 + 2Rh - h^2$
$l^2 = 2Rh$

Мы доказали, что соотношение $l^2 = 2Rh$ является верным. Следовательно, верно и исходное равенство $S_{бок}^2 = S_{осн} \cdot S_{сег}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.