Номер 659, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

659. Объем шара равен $V$. Найдите его поверхность.

Пусть $R$ — это радиус шара. Объем шара $V$ и площадь его поверхности $S$ (сферы) связаны с радиусом следующими формулами:
1. Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
2. Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$

Наша задача — выразить площадь поверхности $S$ через объем $V$. Для этого мы сначала выразим радиус $R$ из формулы объема, а затем подставим полученное выражение в формулу площади поверхности.

Шаг 1: Выразим радиус $R$ из формулы объема.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$
Умножим обе части на 3 и разделим на $4\pi$, чтобы выразить $R^3$:
$R^3 = \frac{3V}{4\pi}$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы найти $R$:
$R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Шаг 2: Подставим выражение для $R$ в формулу площади поверхности.
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\right)^2$
Упростим это выражение. Возведение в квадрат кубического корня эквивалентно возведению подкоренного выражения в степень $2/3$:
$S = 4\pi \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{2/3}$
Раскроем скобки, применив свойство степеней $(a/b)^n = a^n/b^n$:
$S = 4\pi \frac{(3V)^{2/3}}{(4\pi)^{2/3}}$
Теперь упростим выражение с $4\pi$, используя свойство $a^m/a^n = a^{m-n}$:
$S = (4\pi)^{1 - 2/3} \cdot (3V)^{2/3} = (4\pi)^{1/3} \cdot (3V)^{2/3}$
Используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, объединим выражения под общим показателем степени $1/3$ (кубический корень):
$S = \left(4\pi \cdot (3V)^2\right)^{1/3} = \sqrt[3]{4\pi \cdot 9V^2}$
$S = \sqrt[3]{36\pi V^2}$
Таким образом, мы получили формулу, связывающую площадь поверхности шара с его объемом.

Ответ: $S = \sqrt[3]{36\pi V^2}$